El Teorema de PitÃ¡goras

LECCIÓN 

CONDENSADA 

9.1 

El Teorema de Pitágoras 

En esta lección 

● Conocerás el Teorema de Pitágoras, que establece la relación entre las 

longitudes de los catetos y la longitud de la hipotenusa de un triángulo 

rectángulo 

● Resolverás un rompecabezas de disección que te ayudará a comprender por 

qué funciona el Teorema de Pitágoras 

● Leerás una prueba de párrafo del Teorema de Pitágoras 

● Usarás el Teorema de Pitágoras para resolver problemas 

En un triángulo rectángulo, el lado opuesto al ángulo recto se llama la 

hipotenusa y los otros lados se llaman catetos (legs). Si a y b son las 

longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo, y c es la longitud de la 

hipotenusa, entonces el Teorema de Pitágoras establece que a 2 b 2 c 2 . 

Es decir, la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos es igual 

al cuadrado de la longitud de la hipotenusa. 

La actividad de la investigación ayudará a convencerte de que el Teorema de 

Pitágoras es cierto. 

Hipotenusa 

c 

b 

a 

Catetos 

Investigación: Los tres lados de un triángulo rectángulo 

Sigue atentamente los Pasos 1–3 en tu libro. Trata de ser lo más exacto posible 

cuando construyas los ángulos y los segmentos de recta. 

Recorta el cuadrado que se sitúa sobre el cateto más corto y las cuatro partes 

del cuadrado que se sitúan sobre el cateto más largo. Acomoda las cinco partes 

para que cubran exactamente el cuadrado que se sitúa sobre la hipotenusa. 

(Sugerencia: El cuadrado pequeño va a la mitad.) 

Ahora piensa en la forma en que este rompecabezas demuestra el Teorema de 

Pitágoras: 

● Escribe expresiones para las áreas de los cuadrados que se sitúan sobre los 

catetos. 

● Escribe una expresión para el área del cuadrado que se sitúa sobre la 

hipotenusa. 

● Pudiste cubrir exactamente el cuadrado de la hipotenusa con los cuadrados de 

los catetos. Explica en palabras lo que esto dice respecto a las áreas de los tres 

cuadrados. 

● Ahora escribe una ecuación algebraica que exprese la relación existente entre las 

áreas. Resume tu trabajo en la forma del Teorema de Pitágoras. 

El Teorema de Pitágoras En un triángulo rectángulo, la suma de los 

cuadrados de las longitudes de los catetos es igual al cuadrado de la longitud 

de la hipotenusa. Si a y b son las longitudes de los catetos, y c es la longitud 

de la hipotenusa, entonces a 2 b 2 c 2 . 

C-82 

(continúa) 

Discovering Geometry Condensed Lessons in Spanish CHAPTER 9 117 

©2004 Key Curriculum Press

Lección 9.1 • El Teorema de Pitágoras (continuación) 

Un teorema es una conjetura que se ha probado. Hay más de 200 pruebas 

conocidas del Teorema de Pitágoras. Tu libro proporciona una prueba. Lee esa 

prueba atentamente y asegúrate de que puedes explicar cada paso. 

En la página 464 de tu libro se dan algunos ejemplos que ilustran que la relación 

pitagórica, a 2 b 2 c 2 , no se mantiene en triángulos acutángulos ni 

obtusángulos. 

Puedes usar el Teorema de Pitágoras para resolver problemas relacionados con 

triángulos rectángulos. En tu libro se dan dos ejemplos; síguelos y después lee los 

ejemplos siguientes. 

EJEMPLO A 

Una cancha de fútbol olímpica es un rectángulo de 100 metros de largo 

y70metros de ancho. ¿Qué longitud tiene la diagonal de la cancha? 

Solución 

La diagonal es la hipotenusa de un triángulo rectángulo, 

con catetos de longitudes 70 m y 100 m. Puedes usar el 

Teorema de Pitágoras para encontrar su longitud. 

c 

70 m 

a 2 b 2 c 2 

La fórmula de Pitágoras. 

70 2 100 2 c 2 Sustituye los valores conocidos. 

100 m 

4,900 10,000 c 2 Eleva los términos al cuadrado. 

14,900 c 2 Suma. 

122 c Resuelve. 

La diagonal tiene una longitud aproximada de 122 metros. 

EJEMPLO B 

¿Cuál es el área de un triángulo rectángulo con un cateto de 5 pies 

de longitud y una hipotenusa de 13 pies de longitud? 

Solución 

Puedes considerar los dos catetos como la base y la altura 

del triángulo. La longitud de un cateto es 5 pies. Para 

encontrar la longitud del otro cateto, usa el Teorema de 

Pitágoras. 

13 pies 

5 pies 

a 2 b 2 c 2 

La fórmula de Pitágoras. 

5 2 b 2 13 2 Sustituye. 

25 b 2 169 Eleva los términos al cuadrado. 

b 2 144 

b 12 

Resta 25 de ambos lados. 

Resuelve. 

El otro cateto tiene una longitud de 12; entonces, el área es 1 (5)(12), 

2 

ó 30 pies 

cuadrados. 

118 CHAPTER 9 Discovering Geometry Condensed Lessons in Spanish 


LECCIÓN 

CONDENSADA 

9.2 

El inverso del Teorema 

de Pitágoras 


● Experimentarás con los triples pitagóricos para determinar si el inverso del 

Teorema de Pitágoras parece ser cierto 

● Probarás el inverso del Teorema de Pitágoras 

● Determinarás si un triángulo es un triángulo rectángulo, basándote en las 

longitudes de sus lados 

En la Lección 9.1, aprendiste el Teorema de Pitágoras, que establece que si un 

triángulo es rectángulo, entonces el cuadrado de la longitud de su hipotenusa 

es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los dos catetos. ¿Crees 

que el inverso es cierto? En otras palabras, si las longitudes de los lados de un 

triángulo funcionan según la fórmula de Pitágoras, ¿el triángulo debe ser un 

triángulo rectángulo? Explorarás esta cuestión en la investigación. 

Investigación: ¿Es cierto el inverso? 

Para esta investigación, necesitarás un cordón, tres clips para papel, y dos 

ayudantes. Si nadie te puede ayudar, necesitarás un cordón, algunos alfileres o 

tachuelas, y una hoja grande de cartulina gruesa. 

Un conjunto de tres enteros positivos que satisfacen la fórmula de Pitágoras se 

conoce como un triple pitagórico. Por ejemplo, como 3 2 4 2 5 2 , los enteros 

3, 4, y 5 son un triple pitagórico. 

En la página 468 de tu libro, se enumeran nueve ejemplos de triples pitagóricos. 

Selecciona un triple de la lista, y delimita cuatro puntos, A, B, C, y D, en un 

cordón para crear tres longitudes consecutivas a partir de tu conjunto de triples. 

(Deja algo del cordón a la izquierda de A y a la derecha de D, de manera que 

puedas hacer un nudo.) Por ejemplo, si escoges 5, 12, 13, podrías marcar tu 

cordón así: 

A B C D 

5 pulg 

12 pulg 13 pulg 

Amarra los extremos del cordón de manera que los puntos A y D se junten. 

Si estás trabajando con otras dos personas: 

● Asegura tres clips sobre el cordón. 

● Cada persona jala un clip cada uno, en el punto A, B, o C, para estirar el 

cordón y formar un triángulo. (Consulta la fotografía en tu libro.) 

● Mide el ángulo más grande del triángulo. ¿Qué tipo de triángulo se forma? 

Si estás trabajando solo: 

● Fija el cordón a la cartulina en uno de los puntos señalados. 

● Estira la parte del cordón entre el punto fijo y el siguiente punto señalado. 

Sujeta ese punto. Después jala el tercer punto señalado para estirar el cordón y 

formar un triángulo. Sujeta ese punto. 

(continúa) 



Lección 9.2 • El inverso del Teorema de Pitágoras (continuación) 

● Mide el ángulo más grande del triángulo. ¿Qué tipo de triángulo se forma? 

A 

5 pulg 

D 

13 pulg 

B 

12 pulg 

C 

Selecciona al menos otro triple de la lista y repite el experimento. 

Tus resultados pueden resumirse en una conjetura. 

El inverso del Teorema de Pitágoras Si las longitudes de los tres lados de un 

triángulo satisfacen la ecuación de Pitágoras, entonces el triángulo es un 

triángulo rectángulo. 

C-83 

En la página 470 de tu libro, se comienza una prueba del Inverso del Teorema de 

Pitágoras. En los ejercicios, completarás esta prueba. 

EJEMPLO 

Un niño que se llama les quería construir un corral rectangular para su conejillo 

de Indias. Cuando terminó, midió el fondo del corral. Encontró que un lado tenía 

54 pulgadas de largo, el lado adyacente tenía 30 pulgadas de largo y una diagonal 

medía 63 pulgadas de largo. ¿El corral es realmente rectangular? 

Solución 

Si el corral es rectangular, entonces dos lados adyacentes y una diagonal formarán 

un triángulo rectángulo. Para ver si éste es el caso, verifica si las medidas forman 

un triple pitagórico. 

63 pulg 

30 pulg 

54 pulg 

30 2 54 2 900 2916 3816 y 63 2 3969 

Como 30 2 54 2 63 2 , las medidas no son un triple pitagórico, así que el 

triángulo no es un triángulo rectángulo. Por lo tanto, el corral no es rectangular. 



LECCIÓN 

CONDENSADA 

9.3 

Dos triángulos rectángulos 

especiales 


● Descubrirás un medio rápido para hallar la longitud desconocida de un lado 

en un triángulo rectángulo isósceles (también llamado triángulo 45°-45°-90°) 

● Descubrirás un medio rápido para encontrar la longitud desconocida de un 

lado en un triángulo 30°-60°-90° 

Un triángulo rectángulo isósceles a veces se conoce como triángulo 45°-45°-90°, 

debido a las medidas de sus ángulos. Observa que un triángulo rectángulo 

isósceles es la mitad de un cuadrado. 

En la siguiente investigación, descubrirás la relación existente entre las longitudes 

de los lados de un triángulo rectángulo isósceles. 

45° 

45° 

Investigación 1: Triángulos rectángulos isósceles 

El triángulo rectángulo isósceles ilustrado aquí tiene unos catetos de 

longitud l y una hipotenusa de longitud h. 

Si conoces el valor de l, puedes usar el Teorema de Pitágoras para 

encontrar h. He aquí dos ejemplos. 

● Si l es 5, entonces h 2 5 2 5 2 50, de manera que 

h 50 25 2 52. 

● Si l es 8, entonces h 2 8 2 8 2 128, de manera que 

h 128 64 2 82. 

Halla el valor de h para al menos otros tres valores enteros de l. Simplifica la raíz 

cuadrada, pero déjala en forma de radical. 

Busca un patrón en la relación entre l y h. Resume tus descubrimientos 

completando esta conjetura. 

Conjetura del triángulo rectángulo isósceles En un triángulo rectángulo 

isósceles, si los catetos tienen longitud l, entonces la hipotenusa tiene 

longitud __________________. 

C-84 

h 

l 

l 

Si doblas un triángulo equilátero a lo largo de una de sus rectas 

de simetría, obtienes un triángulo 30°-60°-90°. 

En la siguiente investigación, verás si hay un medio rápido para encontrar las 

longitudes laterales de un triángulo 30°-60°-90°. 

Investigación 2: Triángulos 30°-60°-90° 

El triángulo ABC es equilátero y CD es una altitud. 

Responde las preguntas de los Pasos 1–3 de la investigación. Necesitas 

usar el hecho de que una altitud de un triángulo equilátero también es 

una mediana y una bisectriz de ángulo. En el Paso 3 debes concluir que la 

longitud del cateto más corto es la mitad de la longitud de la hipotenusa. 

A 

30° 

60° 

C 

D 

B 

(continúa) 



Lección 9.3 • Dos triángulos rectángulos especiales (continuación) 

A continuación hay un triángulo 30°-60°-90°. Si conoces la longitud del 

cateto más corto, a, puedes encontrar la longitud de los otros lados. Por 

ejemplo, si a es 3, entonces la hipotenusa, c, es 6. Usa la fórmula de 

Pitágoras para encontrar la longitud del otro cateto, b. 

3 2 b 2 6 2 

9 b 2 36 

c 

60° 

a 

b 2 27 

b 27 9 3 33 

30° 

b 

La longitud del cateto b es 33 unidades. 

Comienza con al menos tres valores distintos de a y encuentra las longitudes de 

los otros lados. Simplifica las raíces cuadradas, pero déjalas en forma de radical. 

Resume tus resultados completando esta conjetura. 

Conjetura del triángulo 30°-60°-90° En un triángulo 30°-60°-90°, si el cateto 

más corto tiene una longitud a, entonces el cateto más largo tiene una 

longitud __________________, y la hipotenusa tiene una longitud 2a. 

C-85 

En la página 477 de tu libro, hay una prueba de la Conjetura del triángulo 

30°-60°-90°. Lee la prueba y asegúrate de comprenderla. 

EJEMPLO 

Halla las longitudes de los lados señalados con letras. Todas las longitudes están 

en centímetros. 

a. b. 

26 

30° 

b 

30° 

c 

14 

60° 

a 

60° 

a 

Solución 

a. La longitud del cateto más corto es la mitad de la longitud de la hipotenusa, 

de manera que a 13 cm. La longitud del cateto más largo es la longitud 

del cateto más corto multiplicada por 3, así que b 133 cm. 

b. La longitud del cateto más largo es la longitud del cateto más corto 

14 

multiplicada por 3, de manera que 14 a3 y a 3 

cm. La longitud de 

la hipotenusa es dos veces la longitud del cateto más corto, así que c cm. 

28 

3 



LECCIÓN 

CONDENSADA 

9.4 

Problemas prácticos 


● Usarás el Teorema de Pitágoras para resolver problemas 

Puedes usar el Teorema de Pitágoras para resolver muchos problemas relacionados 

con los triángulos rectángulos. 

Lee el ejemplo en tu texto. Observa que el problema en ese ejemplo requiere 

aplicar el Teorema de Pitágoras dos veces: primero para encontrar la diagonal 

del fondo de la caja y después para encontrar la diagonal de la caja. 

En los ejemplos siguientes, trata de resolver cada problema por tu cuenta, antes 

de leer la solución. 

EJEMPLO A 

Un cuadrado tiene una diagonal de una longitud de 16 pulgadas. ¿Cuál es el área 

del cuadrado? 

Solución La diagonal de un cuadrado divide el cuadrado en dos triángulos 45°-45°-90°. 

Para encontrar el área del cuadrado, necesitas conocer la longitud del cateto, l, 

de los triángulos. 

45° 

16 pulg. 

l 

45° 

l 

Según la Conjetura del triángulo rectángulo isósceles (o según el Teorema de 

Pitágoras), sabes que l 2 16, así que l pulg. Por lo tanto, 

16 16 

Área del cuadrado 

 

2 2 

25 6 

 

2 

128 

Así que el área del cuadrado es 128 pulg 2 . 

16 

2 

(continúa) 



Lección 9.4 • Problemas prácticos (continuación) 

EJEMPLO B 

Solución 

La banda de marcha de la Clementina High School ensaya en la cancha de fútbol 

de la escuela. La cancha mide 300 pies de largo de oeste a este y 160 pies de 

ancho de norte a sur. Len comienza en la esquina sudoeste y marcha a una 

velocidad de 5 pies por segundo hacia la esquina sudeste. Al mismo tiempo, Jen 

comienza a marchar diagonalmente de la esquina nordoeste a la esquina sudeste. 

Si desean reunirse en la esquina en el mismo instante, ¿a qué velocidad debe 

marchar Jen? 

Para empezar, haz un dibujo para ilustrar el problema. 

160 pies 

Ruta de Jen 

N 

Ruta de Len 

300 pies 

Len marcha 300 pies a una velocidad de 5 pies por segundo, así que le tomará 

300 5, ó 60 segundos, para llegar a la esquina suroriental. 

Para que se encuentren al mismo tiempo, Jen también debe cubrir su ruta en 

60 segundos. Para hallar la distancia que Jen debe marchar, usa el Teorema de 

Pitágoras. 

160 2 300 2 x 2 

25,600 90,000 x 2 

115,600 x 2 

340 x 

Jen debe cubrir 340 pies en 60 segundos, así que debe marchar a una velocidad de 

340 60, ó aproximadamente 5.7 pies por segundo. 



LECCIÓN 

CONDENSADA 

9.5 

La distancia en la geometría 

de coordenadas 


● Aprenderás una fórmula para encontrar la distancia entre dos puntos sobre 

un plano de coordenadas 

● Descubrirás la ecuación general de un círculo 

● Encontrarás el centro y el radio de un círculo basándote en su ecuación 

En un plano de coordenadas, puedes encontrar la longitud de un segmento 

en la dirección x, contando los cuadros de la cuadrícula o restando 

coordenadas x. De manera similar, puedes encontrar la longitud de un 

segmento en la dirección y contando o restando coordenadas y. 

Puedes pensar en cualquier segmento que no esté en la dirección x o y como 

la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos en las direcciones x e y. 

Esto te permite usar el Teorema de Pitágoras para encontrar la longitud del 

segmento. 

8 

6 

y 

8 

6 

4 

2 

y 

7 4 3 unidades 

8 2 6 unidades 

2 4 6 8 

x 

4 

2 

2 4 6 8 

x 

En la siguiente investigación, usarás esta idea para desarrollar una fórmula para la 

distancia entre cualesquier dos puntos en un plano de coordenadas. 

Investigación 1: La fórmula de la distancia 

El Paso 1 de tu libro muestra cuatro segmentos sobre unos planos de 

coordenadas. Encuentra la longitud de cada segmento, considerando 

que es la hipotenusa de un triángulo rectángulo. Por ejemplo, el 

segmento en la parte a es la hipotenusa de un triángulo rectángulo 

con catetos de longitudes de 2 unidades y 4 unidades, así que usando 

el Teorema de Pitágoras, 

5 

y 

longitud 2 2 2 4 2 

20 

longitud 20 25 4.5 unidades 

En el Paso 2 debes graficar los puntos y luego encontrar la distancia entre ellos. 

Puedes encontrar la distancia usando el procedimiento que usaste en el Paso 1. 

Considera los puntos A(15, 34) y B(42, 70). No sería práctico graficar estos 

puntos en una cuadrícula, así que ¿cómo podrías encontrar la distancia 

entre ellos? 

5 

x 

(continúa) 



Lección 9.5 • La distancia en la geometría de coordenadas (continuación) 

Recuerda que puedes hallar una distancia horizontal restando coordenadas x, y una 

distancia vertical restando coordenadas y. Usa esta idea para completar los Pasos 

3–5 en tu libro y encontrar la distancia entre los puntos A(15, 34) y B(42, 70). 

Puedes generalizar tus descubrimientos en esta investigación en una conjetura. 

Fórmula de la distancia La distancia entre los puntos Ax 1 

, y 1 y 

Bx 2 

, y 2 se expresa por la fórmula (AB) 2 x 2 

x 1 2 y 2 

y 1 2 ó 

AB x x 2 

1 2 y 2 

. 

y 1 2 

C-86 

El Ejemplo A en tu libro te muestra cómo aplicar la fórmula de la distancia. Lee 

el ejemplo atentamente. 

El Ejemplo B en tu libro te muestra cómo usar la fórmula de la distancia para 

escribir la ecuación de un círculo con el centro (5, 4) y el radio 7 unidades. La 

solución usa el hecho de que el círculo es el conjunto de todos los puntos (x, y) 

que se sitúan a 7 unidades del punto fijo (5, 4). 

Investigación 2: La ecuación de un círculo 

En los Pasos 1 y 2 se te pide encontrar las ecuaciones de los círculos, dados 

sus centros y radios. Por ejemplo, el círculo de la parte a tiene el centro (1, 2) 

yel radio 8. Si (x, y) es un punto en el círculo, entonces su distancia desde 

(1, 2) es 8. Usa la fórmula de la distancia para encontrar la ecuación. 

(x 1) 2 (y (2)) 2 8 2 

(x 1) 2 (y 2) 2 64 

Encuentra las ecuaciones para los círculos de las partes b y c por tu cuenta. La 

siguiente conjetura resume tu trabajo en la investigación. 

Ecuación de un círculo La ecuación de un círculo con el radio r y el centro 

(h, k) es (x h) 2 (y k) 2 r 2 . 

C-87 

En el Ejemplo C en tu libro, se muestra cómo encontrar el centro y el radio de 

un círculo, basándote en su ecuación. He aquí otro ejemplo. 

EJEMPLO Grafica el círculo con la ecuación x 2 (y 3) 2 9. 

y 

Solución 

Reescribe la ecuación del círculo en forma estándar 

(la forma dada en la conjetura). 

(x h) 2 (y k) 2 r 2 

(x 0) 2 (y (3)) 2 3 2 

2 

–3 3 

–2 

x 

Ahora puedes identificar fácilmente los valores de h, k, y r. 

El centro es (0, 3) y el radio es 3. Usa esta información 

para dibujar la gráfica. 



LECCIÓN 

CONDENSADA 

9.6 

Círculos y el Teorema de Pitágoras 


● Usarás las conjeturas del círculo y el Teorema de Pitágoras para resolver 

problemas 

En el Capítulo 6, descubriste varias propiedades de los círculos que tienen que ver 

con ángulos rectos. He aquí dos de las conjeturas de ese capítulo. 

Conjetura de la tangente: Una tangente a un círculo es perpendicular al radio 

trazado hasta el punto de tangencia. 

Conjetura de los ángulos inscritos en un semicírculo: Los ángulos inscritos en 

un semicírculo son ángulos rectos. 

Puedes usar estas conjeturas y el Teorema de Pitágoras para resolver algunos 

problemas difíciles. 

En el Ejemplo A en tu libro, se usa la Conjetura de la tangente y el Teorema de 

Pitágoras para encontrar el área de la porción sombreada de un círculo. En el 

Ejemplo B, se usa la Conjetura de los ángulos inscritos en un semicírculo y el 

Teorema de Pitágoras para encontrar el área de un círculo. Lee estos ejemplos 

atentamente, y lleva a cabo cada paso. A continuación hay otros dos ejemplos. 

EJEMPLO A 

AP y AQ son tangentes al círculo O, y AP 3 cm. Encuentra el área de la región 

sombreada. 

P 

A 

O 

60° 

Q 

Solución Puedes dibujar OA para crear dos triángulos 30°-60°-90°. 

(¿Cómo sabes que el segmento biseca a O para crear 

dos ángulos de 30°?) 

En APO, el cateto más corto, AP, tiene una longitud de 

3 cm, de manera que el cateto más largo, que es el radio 

del círculo, tiene una longitud de 33 cm. 

O 

P 

30° 

30° 

60° 

A 

60° 

Q 

Como el radio es 33 cm, el área de todo el círculo es 

27 cm2 . El área de la región sombreada es 360 60 

36 , 

0 

ó 5 6 , 

del área del círculo. Por lo tanto, el área sombreada es 

5 6 (27), ó 4 5 

2 

cm 2 . 

(continúa) 



Lección 9.6 • Círculos y el Teorema de Pitágoras (continuación) 

EJEMPLO B 

Encuentra el área de la región sombreada. 

M 

4 cm 

L 

45° 

O 

N 

Solución 

El área de la región sombreada es el área del semicírculo menos el área 

de LMN. 

LMN es un triángulo rectángulo isósceles (un triángulo 45°-45°-90°) con un 

cateto de 4 cm de longitud. Así pues, la longitud de la hipotenusa, que es el 

diámetro del círculo, es 42 cm. Entonces, el radio del círculo es 22 cm, de 

manera que el área de todo el círculo es 22 2 ,ó 8 cm 2 .Por lo tanto, el área 

del semicírculo es 4 cm 2 . El área de LMN es 1 2 (4)(4), u 8 cm2 .Así pues, el área 

de la región sombreada es (4 8) cm 2 .

El Teorema de PitÃ¡goras

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