Números fractales

 Un fractal es un conjunto
matemático que puede
gozar de autosimilitud a
cualquier escala, su
dimensión no es entera o si
es entera no es un entero
normal. El hecho que goce
de autosimilitud significa
que si tomamos algunos
tipos de fractales podemos
comprobar que al hacer un
aumento doble el dibujo es
exactamente igual al
inicial.

 Compleja estructura a cualquier escala.
Los fractales muestran estructuras muy complejas
independientemente de la escala a la cual lo observemos.
 Infinitud.
Se consideran infinitos ya que a medida que aumentamos la
precisión del instrumento de medición observamos que el fractal
aumenta en longitud o perímetro.
 Autosimilitud en algunos casos.
Existen fractales plenamente autosimilares de manera que el todo
está formado por pequeños fragmentos parecidos al todo.
 Dimensión no entera.
La dimensión de un fractal no es un número entero sino un número
generalmente irracional.

Se forman mediante números
complejos, de tal forma, que
si tenemos el complejo z=a-
bi, tendremos que somterlo a
«una prueba matemátioa».
Esta operación consiste en
elevar el número z al
cuadrado, sumándoselo
después al mismo Z. A
continuación, este resultado
lo elevamos otra vez al
cuadrado, sumándoselo otra
vez a Z y así infinitamente: lo
llamado iteración.
Un programa de Ordenador
asigna un color a cada punto
de la imagen obtenida,
basada en las respuestas a
una ecuación elegida. El
resultado de todo esto son las
formas abstractas fractales.

 Hacia el año 1958, Benoit Mandelbort comienza una
investigación en los laboratorios de IBM acerca del análisis
del ruido y las perturbaciones eléctricas.
 Encuentra un patrón de comportamiento y comienza a
descifrar una estructura escondida que se repite a diversas
escalas.
 Comforme avanza sus investigaciones se plantea una
pregunta para ejemplificar lo descubierto:
¿Cuánto mide la costa de Inglaterra?
 Esta pregunta puede parecer un tanto absurda pero hay
tres métodos para realizar la medición:
 Observación de la costa desde un satélite.
 Observación de la costa desde un helicóptero
 Observación de la costa desde la superficie.
 Al ampliar el lugar de la observación hasta el infinito
aparecen los fractales.

 Autosimilitud exacta: Este es el tipo más
restrictivo de autosimilitud, exige que el fractal
parezca idéntico a diferentes escalas. Estos tienen
una regla de punto fijo geométrico. Ejemplos:
conjunto de Cantor, triángulo de Sierpinski, curva
de Peano, copo de nieve de Koch, curva del
dragón, esponja de Menger, etc.
 Cuasiautosimilitud: Exige que el fractal parezca
aproximadamente idéntico a diferentes escalas.
Los fractales de este tipo contienen copias
menores y distorsionadas de sí mismos. Los
fractales definidos por relaciones de recurrencia
son normalmente de este tipo. Como ejemplo
tenemos: el conjunto de Mandelbrot, conjunto de
Julia, y el fractal de Lyapunov, etc.

 Autosimilitud estadística: Es el tipo más débil de
autosimilitud, se exige que el fractal tenga medidas
numéricas o estadísticas que se preserven con el cambio
de escala. Los fractales aleatorios son ejemplos de
fractales de este tipo. Así tenemos, el movimiento
browniano, el vuelo de Lévy, los paisajes fractales o los
árboles brownianos.

 Fractales lineales: Los fractales lineales son aquellos que se construyen con
un cambio en la variación de sus escalas. Esto implica algo muy
importante, los fractales lineales son exactamente idénticos en todas sus
escalas hasta el infinito. Es decir si vemos una parte específica muy
pequeña de una forma fractal la veremos igual o similar a la forma original
del fractal, solamente que más pequeña.
 Fractales no lineales: Los fractales no lineales se generan creando
distorsiones no lineales o complejas. Es decir son fractales que presentan
una estructura similar, pero no son exactamente igual a su original. Si
vemos de cerca una parte específica de un fractal se parecerá al original
pero tendrá unas pequeñas variaciones.

 Los fractales deben poseer una dimensión que debe ser no entera y
cuya dimensión fractal debe superar a su dimensión topológica. Las
dimensiones topológicas son las siguientes:
 Dimensión -1 (conjunto vacío)
 Dimensión 0 (un punto)
 Dimensión 1 (una línea recta)
 Dimensión 2 (un plano)
 Dimensión 3 (el espacio)
 Como los fractales están compuestos por elementos cada vez más
pequeños de sí, el concepto de longitud pasa a ser algo complejo por lo
que mediremos los fractales por tu dimensión.
 El cálculo de la dimensión de un objeto nos permitirá conocer si ese
objeto es o no es un fractal.
 La expresión matemática para calcular la dimensión de fractal es
S=L^D de la cual S es la cantidad de segmentos o su longitud, L es la
escala de dimensión y D es la dimensión, la cual podemos despejar.

 Compresión de imágenes.
 Modelado de formas naturales.
 Sistemas dinámicos.
 En manifestaciones
artísticas.

 Los números complejos son una extensión de los números reales y forman el
mínimo cuerpo algebraicamente cerrado que los contiene.
 Todo número complejo puede representarse como la suma de un número real y
un número imaginario.
 Suma
(a, b) + (c, d) = (a+c, b+d)
 Resta
(a, b) - (c, d) = (a-c,, b-d)
 Multiplicación
(a, b) (c, d) = (ac - bd, ad + bc)
 Igualdad
(a, b) = (c, d)  a = c, b = d
 Aplicaciones: soluciones de ecuaciones polinómicas, variable compleja o
análisis complejo, ecuaciones diferenciales, fractales, ingeniería electrónica,
mecánica cuántica..

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