WO1996018144A1

WO1996018144A1 - DISPOSITIF ET PROCEDE DE PRODUCTION QUASI-ALEATOIRE DE NOMBRES, ET DISPOSITIF ET PROCEDE D'INTEGRATION MULTIPLE DE LA FONCTION f

Info

Publication number: WO1996018144A1
Application number: PCT/JP1995/002439
Authority: WO
Inventors: Shoichi Ninomiya; Shu Tezuka
Original assignee: International Business Machines Corporation
Priority date: 1994-12-05
Filing date: 1995-11-28
Publication date: 1996-06-13
Also published as: US5872725A; KR100264633B1; KR980700604A

Description

明細書

準乱数生成装置及び方法並びに関数 f の多重積分計算装置及び方法 [技術分野]

この発明は、一般化されたニーダーライタ ' シーケンス

(General ized Niederrei ter Sequence) 及びフォーリレ · ンーケンス (Faure sequences) と含むローデイスクレノンシ · シーケンス V low-discrepancy sequences, 準 BL ともいつ。 ) を筒速生成する方法及びシステムに関するものである。この準乱数とは、極めて一様に分布した点列である。

[背景技術]

最近の金利自由化の傾向にともない、銀行や証券会社などのさまざまな金融機関では、金融派生商品の価格づけなどの目的で、高速なコンビュ一タを駆使するようになってきている。高速なコンピュータが使用される理由は、様々な顧客每のパラメータや経済指標などの極めて多数の変動する要因があるにも拘わらず、顧客の要望に迅速に応える必要があるからである。このような金融向けの数学的モデルを提供したり、その数学的モデルにおける方程式を合理的な手法で解くアルゴリズムを与えるための分野として、金融工学（Financial Engineering) が提唱され、近年、盛んに研究されるようになってきている。金融工学、特に金融派生商品の価格づけで頻繁に必要となる計算に、多重積分計算がある。一般的に、コンピュータを用いて積分計算を行うには、 Si分区問を微小な領域に等分し、その個々の区 (HJにおける関数の値と区間の幅の檳を累算する、という技法が用いられる。しかし、多重檳分計算の場合、もし k重楱分計算を行うとすると、 1 の区間の分割数が Nであるとき、 N ^kもの反復計算が必要になり、 k = 5程度でも、実用的な分割数 Nに対して、通常のコンピュータでは、実際的な計箅時間で処理できる範囲を超えてしまう。このため、一種の乱数を用いたモンテカルロ（Monte Car l o ) 法と呼ばれる多重楱分計算のための方法が以前から提案されている。この方法は、多重積分計算の k次元の積分区間の範囲内のー铩乱数の k次元座標を多数生成し、生成された座標を積分される関数に頓次代入して、その代入した値が所定の条件を満たす確率を求める、というものである。れを数式で表すと、次のとおりである。

この場合、 N個の点柒合 x . ( i =1 N ) を与えることがアルゴリズムそのものである。金融派生商品の価格づけにおける価格の期待 iH F; I" ^には、この式において、それぞれの確率モデルから決まる Γ ( X ) が用いられることになる。また、この嵇の問题では、 i分 15差を小さくするようなアルゴリズムが「良いアルゴリズム j ということになる。一方、誤差の方を一定（例えば 0. 001 ) にして考えれば、できるだけ少ない点集合（すなわち、小さい N) でその誤差を達成できるのが ¹"良いアルゴリズム j である。このようなアルゴリズムでは、一般的に点の数に比例して計算時間がかかるので、 ^Γ良いアルゴリズム」はすなわち ^Γ速いアルゴリズム」でもある。線形合同法などの方法によつて発生されたランダムな点が使用されるモンテカルロ法では、誤差は、ほぼ Νの平方根の逆数に比例することが知られている。これに従えば、簡単に言うと、 0.001の誤差を達成するには、 10⁶個の点が必要である。一方、準乱数を Ν個の点集合として用いるアルゴリズムもある。この場合は、理論的には、誤差がほぽ 1 /Νに比例することが知られている, これだと、 0.001の誤差を達成するには、 Ν =10³個の点で十分ということになる。従って、準乱数を使用すると、モンテカルロ法よりも、計算がおおよそ 10³倍速い、ということになる。準乱数として、幾つかの方法が提案されているが、その中でも、フォ一ル · シーケンスとよばれる数列が、この分野の専門家によって、高い次元の多重積分計算に対して有望視されている準乱数である。これの詳細については、以下の論文を参照されたい。

P.P. Boyle, New Variance Reduction Methods for efficient Monte Carlo Simulations, Conference on Advanced Mathematics on

Derivatives, RISK Magazine, (September, 1994). また、この数列のアルゴリズムとして、下記の論文に記述されている技法が知られており、また、現在使用されている。 P. Brat ley, B. L. Fox, and H. Niederreiter, Implementation and Tests of Low-Discrepancy Sequences, ACM Trans. Modeling and Computer Simulation, 2， (July, 1992), 195-213. しかし、この論文に記述されている方法でフオール · シーケンスを発生させると、本願発明者の実験によれば、線形合同法の乱数を発生させるよりも実に 60倍もの時間がかかってしまう。特に金融派生商品の価格づけの計算では、準乱数による多重積分計算は、多くの場合、理論上、通常のモンテカルロ法を用いた多重積分計算よりも 1 00倍程度の高速化を達成するが、それは、準乱数の 1 つの点を発生するのに要する時間が、モンテカルロ法における線形合同法による 1 つ点の発生に要する時間とほぼ等しいと仮定してのことであって、もしフォール · シーケンスを発生させるのに、線形合同法の乱数を発生させるよりも 60倍もの時間がかかってしまうと、準乱数を使用することの利点が大幅に割り引かれてしまう。

[発明の開示]

本発明の目的は、準乱数を高速で生成するための方法及びシステムを提供することにある。本発明の他の目的は、そのようにして発生される準乱数を用いて、金融派生商品の価格づけなどに使用される多重積分の計算を高速化することにある。本発明によれば、従来の数列 X = T V が、 Y = TG v で置き換えられる。但し、この Gは、その対角成分が全て 1 であり、その

j 一 i = l を満たすような成分が一 1 であり、その他の成分が全て

0であるような正方行列である。すると、本発明の非自明な知見によれば、 π+l番目の準乱数は、 nの b進展開（n , n _n,.... η,) をベクトル成分とした ν = ( η,,....

Di m-1 1 n 1

. n ,, η ) において、 n .≠ b— 1 であるような最小の《i を求め、生

ID - J Π J

成行列 Tの j列と、 n番目の準乱数を、 mo d bで加算することによつて、求められる。これは、 Y _Al = Y ADD. T e .と表すことがで

n^TJ n b j

きる。このとき、実質的に加算しか必要でないので、実際の行列どうしの掛け算を要する方法よりは、はるかに少ない計算量で、高速に準乱数を求めることができる。また、それらの計算を複数のプロセッサに行わせることにより、より高速なシステム及び方法を提供する。これは、前述の行列 Gの性質を用いるものであり、 Y =TG V より、数 nを与えると任意の順番の準乱

n n

数 Y を生成することができる。このことを用いて、複数のプロセッサ π

に各プロセッサにて処理するための数 Sを与えれば、その数 Sに対する

Υ を各々のプロセッサは生成する。 Υ が生成されれば、上述した掛け

S S

算を行わない加算方式にて Υ ₊₁を生成することができるのでその処理を繰り返し、各プロセッサがその処理割り当ての終了の数 tに対する

Y_tまで生成する。そうすれば、システム全体としてはより高速に準乱数を生成することができるようになる。但し、被精分関数によっては準乱数の計算より被積分関数の計算の方が非常に手間がかかる場合もある。よって、 Y _l = Y AD D_k T e .による掛け算を用いない加算方式で

n+] n b j

行っても、 Y = Τ G ν により掛け算を用いる方式を用いても、処理時

n n 間に大差ない場合もあるので、その場合には各プロセッサにおける Y から Y,の生成は掛け箅を用いる方式を用いて計算してもよい。

S+J t より具体的に本発明の構成を示す。

1次元の準乱数を生成するには、以下のような構成が必要となる。すなわち、（a)n番目（nは、 1以上の整数）の準乱数 Υπの值を b進数

(bは、 2以上の素数）展開し、生成された m個の成分

y y ) を順番に第 1記憶部に記憶する手段と、（b)数 nの b進数展 in- J m

開（η , η , η,) を計算し、第 2記憶部に順番に記憶する手段 m m一 1 1

と、（c)第 2記憶部を順番に走査して、 n .≠ b— 1 となる最小の順番 j を検出する検出手段と、（d)検出手段に応答し、予め記饯された、準乱数の生成行列 Tの第 j列の成分（ ·ΐ , 1 j B _β~ _r 1 j ) 及び第

ID 1記憶部に記憶された準乱数 Ynの成分を順番に取り出し、同一の順番で取り出された生成行列 Τの第 j列の成分 j .及び準乱数 Ynの成分 y iを法 bで加算し、加算結果を頫番に第 3記憶部に記憶する手段とを必要とする。これにより、行列の掛け算処理が遅いという技術的問題を解決するとともに、コンピュータにおいて用いられる準乱数の生成を高速に行う装置を提供することができる。また、 k次元の準乱数を生成するには、（a) n番目（nは、 1以上の整数）の準乱数（u ⁽¹⁾ u ^(k) ) の個々の座標値 u ⁾

π n n

( 1 i ≤ k ) を、 b進数（ bは、 kより大きいか又は等しい素数）展開し、各座標値につき、生成された m個の成分を、順番に第 1記憶部に記憶するステップと、（b) 数 nの b進数展開（η , n η,) を

Dl ID— J J 計算し、第 2記億部に順番に記憶するステップと、（c) 第 2記憶部を順番に走査して、 n.≠ b— l なる最小の順番 jを検出する検出ステツプと、（d) 検出ステップに応答して、予め記憶された、準乱数の第 i番目（ 1≤ i ≤k) の座標の生成行列 T⁽ⁱ)の第 j列の成分及び n番目の準乱数の第 i番目の座標値の成分を順番に取り出し、同一の順番で取り出された生成行列 Τ^(ί)の第 j列の成分及び n番目の準乱数の第 i番目の座標値の成分とを法 bで加算し、加箅結果を順番に第 3記慷部に記憶するステップとを含むようにする。このような k次元の準乱数を用いて、関数 f の多重楱分を行うには、

(a) k個の要素に関連する関数 f ( x_r x„ x_k) を規定するステップと、（b) n番目（nは、 1以上の整数）の準乱数

(u u ^(k)) の個々の座標値 u "ノ ( 1≤ i ≤k) を、 b進 n n n

数 <bは、 kより大きいか又は等しい素数）展開し、各座標値につき、生成された m個の成分を順番に第 1記憶部に記億するステップと、（c) 数 nの b進数展開（η , η , η _η > を計算し、第 2記憶部に順番 m m-1 1

に記憶するステップと、（d) 第 2記憶部を順番に走査して、

n .≠ b— 1 となる最小の順番 jを検出する検出ステップと、（e) 検出ステップに応答して、予め記憶された、準乱数の第 i番目（ 1≤ i ≤k) の座標のための生成行列 T ")の第 j列の成分及び n番目の準乱数の第 i番目の座標値の成分を順番に取り出し、同一の順番で取り出された生成行列 Τ )の第《5列の成分及び η番目の準乱数の第 i番目の座標値の成分とを法 bで加算し、加算結果を順番に第 3記憶部に記憶するステツプと、（f) m個の加算結果が生成されるごとに b進数逆展開し、生成された u ₊₁ ^u)を第 4記憶部に記憶するステップと、（g) ステップ（f)が座標値 u ₊₁ ⁾ ( 1≤ i ≤ k ) を第 4記憶部に記憶した場合には、 f (u u_n+1(^k)) の値を計算するステップと、（h) ステツプ（b)乃至ステップ（g)を繰り返し、 f ( u ⁽¹⁾ u ^(k)) の値を

n n n = l から n = N (Nは、 1 より大きい予定の整数）までアキュムレータにて累積するステップと、 U) アキュムレータに応答して、累棲値を Nで除算するステップとを含む。このようにすると、積分値が高速に求められる。さらに上述したように、先の準乱数生成装置を並列処理に応用した場合には、複数のプロセッサと、複数のプロセッサの各々に、処理開始番号 sを含む処理割当情報を送信する手段とを有する準乱数生成システムが構成される。

そして、各プロセッサが、（a) 処理割当情報を受信し、処理開始番号 sに対応する準乱数（ u ⁽¹⁾ u„^(k)) を生成し、第 1記憶部に記

s s

悌する手段と、（b) η番目の準乱数（ u ⁽¹⁾ u_n ^(k)) の個々の座標值 u ⁽ⁱ⁾ ( 1 ≤ i ≤k) を、 b進数 < bは、 kより大きいか又は等し n

い素数）展開し、各座標值にっき、生成された m個の成分を順番に第 2 記憶部に記憶する手段と、 (c) 数 nの b進数展開（n_m, η , η,) を計算し、第 3記憶部に順番に記憶する手段と、（d) 第 3記憶部を頃番に走査して、 n .≠ b— 1 となる最小の頼番 j を検出する検出手段と、

(e) 検出手段に応答して、予め記憶された、準乱数の第 i 番目

( 1 ≤ i ≤ k ) の座標のための生成行列 T( の第 j列の成分及び n番目の準乱数の第 i番目の座標値の成分を順番に取り出し、同一の順番で取り出された生成行列 T( の第 j列の成分及び n番目の準乱数の第 i 番目の座標値の成分とを法 bで加算し、加算結果を順番に第 4記憶部に記憶する手段と、（Π m個の加算結果が生成されるごとに b進数逆展開し、生成された u を第 1記億部に記憶する手段と、（g) 手段（b) 乃至手段（f)を制御して、 s + 1番目の準乱数

( u _n ⁽¹⁾ u ^ ^(k)) から当該プロセッサにおける処理終了番号 s+1 s+1 tに対応する準乱数（ u_t ^U) u_t ^(k)) までを第 1記憶部に記恡させる制御手段とを有する。これにより、個々のプロセッサの計算量は、当然プロセッサの数だけ减少したことになるため、より高速に計算が行われることとなる。の場合、各プロセッサに存在する手段（a) は、数 nの b進数展開 n n rij) を計算し、その計算結果により生成されるべク

•r

トル V = ( n, n n ) と生成行列 T (i) ( 1 ≤ i ≤ k ) と行列 G

(i)

とを用いて、 n番目の举乱数の i番目の座標值 u を生成する生成手段を含むようにすることも考えられる。当然、この並列処 ¾を行う準乱数生成システムは、並列処？ J1を行う関 ¾ f の多 31 ¾i分を計^するシステムにも応用可能である。さらに、並列処¾における準乱数生成システムの他の態搽においては複数のプロセッサと、複数のプロセッサの各々に、処 ¾[¾始番号 sを含む処理割当情報を送信する手段とを有し、各プロセッサが、（a) 処理割当情報を受信する手段と、（b) 数 nの b進数展^ ( n . η , η , )

m m^_ 1 1 を計算し、その計算結果により生成されるベクトル V ( n (i)

n n ) と生成行列 T ( 1 ≤ i ≤ k ) と行列 G

m一 1 m

とを用いて、 n番目の準乱数の i番目の座標値 u ⁽¹)を生成する生成手

n

段と、（c) 生成手段が処理開始番号 sに対応する举乱数（u ⁽¹⁾ u ^(k)) から当該プロセッサにおける処理終了番号 t に対応する準乱数 S

( u_t ⁽¹⁾,..., u_t ^(k)) を生成するように、数 n ( s≤ n≤ t ) と生成行列 T⁽¹ノ ( 1≤ i ≤ k) と行列 Gを、生成手段に入力する制御手段とを有するようにすることも考えられる。本形態は、準乱数が前述の準乱数生成システムにて計算するのよりも遅く計算されることとなるが、例えば後の積分のための計算において被積分関数 f が複雑で評価に時間がかかるようであれば、並列に処理していることもあり、十分な計算速度を得ることができる。なお、複数のプロセッサにて同一の個数の準乱数を計箅される場合には、処¾ ^始番号 sの送信を省略することも可能となる場合もある。当然、この 95の準乱数生成システムも、 l ¾ f の多 31¾分計^システムに応用可能である。

[図面の f¾ '単な説明]

第 1図は、 1次元の^乱数を生成する処¾を示すフローチヤ一卜である第 2図は、本発明を実施するための装置構成であるコンピュータを示すブロック図である。

第 3図は、本発頃を実施するための装置構成を示す一例である。

第 4図は、 k次元の準乱数を生成する処理を示すフローチヤ一卜である。

第 5図は、関数 f の多重積分計算の処理を示すフローチヤ一卜である _c 第 6図は、関数 f の多重積分計算を行う装置の一例を示すブロック図である。

第 7図は、複数のプロセッサにおいて並列処理する際のシステム構成の一例を示すブロック図である。

第 8図は、閧数 f の多重積分計算を並列処理する際のフローチヤ一トを示す図である。これらの図面にて用いられる符合の主なものを説明しておく。

1 0 制御部 1 2, 1 6， 1 8， 20, 32 記憧部

1 6 ポインタ 22 後処理ブロック 30 逆展開部

34 演算部 36 アキュムレータ 40 システム制御部

42, 44. 46 プロセッサ

[発明を実施するための最良の形態]

A ：本発明の原理

以下では便宜上、 1次元で説明を行う。しかし、後で説明するようにこれは、容易に k次元に拡張可能である。数列を、 X ( n = 0. 1 , 2 b^m'^] ) で表す。ここで、 bは、

n

次元 kよりも大きいかまたは等しい素数、また、 mは通常、 1 o g_b2³⁰に近い整数とする。定 ¾にり、数列 X は、生成行列

T = ( c ..) を用いて、 X. T V と書くことができる。このような行列 Tの選び方については、上記 P. Bratley他の論文を参照されたい。こ

m-1.

こで、ベクトル V は、整数 nの b進表現 n =n b n₂b+n】【こ対

n m

して、 n )を対応させたものである

上記 P. Bratley他の論文では、 X = T v という行列の掛け箅をその

n n

まま行ったので、計算に非常に時間がかかった。

一方、本発明によれば、 X = T V で直接行列の掛け算を行う代わり

n n

に、 Y = T G V によって数列 Y が発生される。数列 Y は、 Y

n n n n n

( n = 0 , 1 , 2, ···, b^m- 1 ) であり、 bはやはり次元 kよりも大きいかまたは等しい素数である。ここで、行列 Gは、以下に示すように

(法 bで）対角線上の要素 i i ( i = 1 m) が全て 1 で、その 1 の要素の右隣の要素 i j ( j - 1 = i . 1 ≤ i ≤m, 1 ≤ j ≤ m ) 力一 1 で、他の要素が全て 0であるような疎行列（sparse matrix) である。このような行列 Gは正則なので、 Y 自体も^乱数となることはす n

ぐ分かる。

本発明者は、このとき、極めて非自明にも、次のうな定が成立することに 1到した。定理

e . ( j = 1 , 2 , m) を、長さ mの j番目の単位ベクトルとする。そこで、 g = G V とおくと、 _g = g ADD. e .が成立する

n n n⁺l n b j ここで、 ADD_bは、座標毎の bを法とする加算を表し、 j は、べク卜レ V = ( η, , n )において、 n .≠ b— 1 を ¾たす最小の添字と n 1 ra j

する。検証

1 カ +1に変化するとき、その b進表現がどのように変化するかを調ベてみる。例えば、 b = 3として、 nが 8から 9に変わるとする。

8 = 2::: 3 + 2であるから、 8の 3進表現は、（022) である。よつて、ベクトル v₈は、以下のように表される。

2

0 また、 9 3ムにより、 9の 3進表 ¾は、（ 1 00) であるつてベクトル v₉は、以下のようにあらわされる

0

V = 0

1 よって、 3 X 3の場合の行列 Gを使用すると、 g。と、 g。とはそれぞれ、次のように計算される

方、 8の 3進表現（022) において、 3— 1 =2でない最小の添字は、 j = 3である。そこで、 g₈ ADD₃ e₃を計算してみると

^8 ^ADD3 ^S3 9 9

となって、 g₈ A D D₃ e₃が、 g₉に一致することが分かる。この一般的な証明は、任意の bにおいて、 nについての数学的帰納法を使用することによって行うことができる。このような式 g n= s ADD, e .が成立するとき、その両辺に左

】

惻から行列 Tを掛けると、 = G 且つ Y = T G であるので、

Y _Al = Y ADD, T e .

】 b

が成立する。ところ力'、 T e .はまさに、行列 Tの第 j列なので、

Y ，は、丫に、 bを法として行列 Tの B« j列を加算するだけで求まる +1

このときの -も決定する必¾があるが、ベクトル

において、 n ·≠ t>— 1 を ¾たす最小の添字 j を求めることは、単にべクトルの成分を走杏するだけでよく、単な処理である。因みに、 1 00000個の点の生成を、 I BM社の

R i s c S y s t e m/6000上で Cコンパイラを使って作成したプログラムにより、上記 P. Bratleyの論文に記述されている方法と、本発明の方法の両方で行ってみたところ、前者は 60秒かかったのに対し、後者では 7秒しかかからず、約 8. 5倍の計算速度の向上が見て取れた _c 以上述べたアルゴリズムをまとめると、第 1図のようになる。すなわち、（ 1 ) 第 n番目の準乱数 Y を入力する（ステップ 1 0 1 0 ) 。

n

{ 2 ) nの b進数展開（ η η ) を求める（ステップ 1 020 ) 。

( 3 ) n .≠ b— 1 となる最小の添字 j を求める（ステップ 1 0 30 ) 。

( 4 ) 生成行列 Tの第 j列ベクトルと Y を m o d bで加算し、それを Y ₊₁とする（ステップ 1 040 ) 。では、これらの動作を行うハードウェアの説明を行う。

上述の動作をコンピュータ · プログラムで行う場合には、第 2図のようになる。この構成は、バス 1 0 1 に、演算及び入出力制御機能をもつ中央処理装置（C P U ) 1 02、プログラムをロードし、また、 C P U 1 02のための作業領域を与える主記憶（R AM) 1 04、コマンドや文字列などをキー入力するためのキーボード 1 06と、中央処理装置を制御するためのオペレーティング ' システム、行列 Tを初期化するための内容を含むファイル、本発明に係る金融派生商品の価格づけ計算プログラムなどを格納したハードディスク 1 08と、データベースの検索結果を表示するためのディスプレイ装置 1 1 0と、ディスプレイ装置 1 1 0の画面上の任意の位置をポイントしてその位置情報を中央処理装置に伝えるためのマウス 1 12を接統した通常の構成である。この実施例では、 I B M社から販売されている R I SC S y s t e m/6 OOO ( I BMの商標）が使用される。しかし、やはり I BM社から提供されるている PS/2 ( I BMの商標）、 P SZ55 ( I BMの商標）などのパーソナル · コンピュータのシステムで本発明を実施することも可能であって，コンピュータ · プログラムにおいて実施された本発明は、特定のハードゥエア構成に限定されるものではない。オペレーティング - システムとしてこの実施例では、 A I X ( I BM の商標）が使用される。しかし、 P SZ2または P SZ55などのハードゥエア構成を使用する場合は、 W i n d ows (マイクロソフトの商標）、 OSノ 2 ( I BMの商標）、 PC - DOS、 MS-DOS (マイクロソフ卜の登録商標）などのオペレーティング - システムを使用することも可能であり、コンピュータ · プログラムにおいて本発明を実施するために、特定のオペレーティング ' システム環境に限定されるものではない。では、専用ハードウエアにて実施をする場合を第 2図に示す。

制御部 1 0は、 Y nと数 nと数 bを人力として受け取る。この人力 Y n は、結采記憶部 20からの出力を用いる場合がある。制御部 1 0は、準乱数展開記憶部 12、数 n展開記憶部 14、生成行列記憶部 18、結果記憶部 20に接続されており、各記憶部には必要なデータを分けて記憶する。但し、これらの記憶部は、分けてあっても、 1つの記憶部を分割して用いてもよい。最終の出力は結果記憶部に格納され、出力は後の処理（例えば、関数 f の多重積分）のための後処理ブロック 22に接続されている。 1次元における各記憶部の記憶位置数は、準乱数展開記憶部 1 2、数 n展開記憧部 1 4、結果記憶部 2 0が、数 n及び n番目の準乱数 Y が展開されるだけの数 mであり、生成行列記憶部 1 8は、 m X m 個の記憶位置がある。制御部 2 2は算術演箅を行うことができ、次のような動作を行う。最初に、生成行列記慷部 1 8には、予め生成行列 Tが記憶されており、必要に応じて任意の列の要素を取り出せるようになつていることを述べておく。まず、数 n及び数 nに対する準乱数 Y が入力されると、制御部 2 2 n

は n及び Y をそれぞれ b進数展開（bは 2以上の素数）する。すなわ

n

ち、 Y は y b^m— ' · · y₉b+_{y i}と展開され、この y . · * y₉ , が準乱数展開記憶部 1 2に順番に記憶される。順番はからでもからでもよいが、後の処理のため取り出し方は記憶する順番に対応させる。同様に数 nも n=n b^B 】+ · · · i^b+rhと展開され、この η , · '！^，^が数！！展

m 2 J m z 1 開記憶部 1 4に順番に記憶される。そして制御部〗 0は、数 n展開記億部 1 4をが格納された記憶位置から走査する。この走査にはボインタ 1 6が用いられ、から走査していって、ポインタ 1 6が移動するごとにカウンタが 1 インクリメントされる。制御部 1 0は、各記憶位置において n .≠ b— 1 であるかを検査し、それに該当する最小のカウンタ値 j を検出する。それに応答して、制御部 1 0は生成行列記憶部 1 8から第 j列目の成分（j ， · · , j₉. j , ) を取り出す。この取り出し方は、 j' からでも j _¾からでもよいが、 j から

m J m であれば、 Y の成分を取り出す際には y から取り出さなければならな

n m

い。同様に、から取り出すのであれば、から取り出さなければならない。どちらにしても、準乱数展開記使部 1 2の成分と、生成行列記 «部 1

8の成分を取り出し、各々法 bにおいて ^ + ， ·

1 1 · · j ra + の計算を m

する。この計算結果 <y ' , · · y ' . y ' ) を、結果記馑部

m Δ 1 2 0に順番に記慷することとなる。これにて、 γ ₊₁の計算が完了したこととなる。実際には、これは b進数展開された Y であるから元に戻す必要もあるが、後の計算にも用いるので結果記憶部 2 0では b進数展開された形式で記慷する。さらに Y .₂を計算したい場合には、結果記憶部 2 0から今度は Y ₊₁ を Y nとして制御部 1 0に入力することになる。しかし、前回は Y nが進数展開されていないことを前提としていたが、今回は既に展開されているので、その処理は不要となる。よって、最初に制御部 1 0は数 n + 1 を b進数展開することになる。このことを鑑みれば、準乱数展開記憶部 1 2と結果記憶部 2 0は同一とし、使い回すこともできる。以下，同様の処理であるから省略する。この第 2図に示した装置において、準乱数展開記悌部 1 2に記憶される Y nの b進数展開されたものは、生成行列記憶部 1 8に記憶された生成行列 Tの j列目の成分との加算を行う際に、適切な成分との加算が必要であるから、記憶及び取り出しの順番を整えるため、 F I F 0

( Fi rst I n F i rst Out ) バッファを用いてもよい。また、数 n展開記憶部 1 4を走査する際にはから走査し、カウンタをインクリメントしていたが、 n から走査して、カウンタの初期値

Π1 を mとし、 1つづつデクリメントする方法もある。しかし、 Γ^-≠1)一 1 となる最小の jを求めるわけであるから、デクリメントする方が時問がかかる。さらに、数 nが人力されるようになっているが、制御部 10にてカウンタを保持し、 1つの準乱数が計算されるごとにカウン卜アップして、その値を用いるようにすることもできる。以上の説明は、 Y から Y ₊₁の計算を説明したものであるが、実際にはが人力され、そこから処理が開始される。

B ：高次元の場合の処理

上記説明をふまえて、次に k次元の準乱数（特に、フォール · シーケンス）を生成する場合の処理を、第 4図を参照して説明する。この第 4 図は、第 2図に示した装置において、本発明をコンピュータ · プログラムにおいて実施した時の処理を示すものである。ここでは、 k次元空間の第 n番目の点（u n ⁽¹⁾ u ^(k)) が与え

n

られたときに、第 n + 1番目の点（ u u ₊₁ ^(k)) を計算する処理が説明されるが、実際的には、初期的に第 1番目の点

( Uj⁽¹⁾ u ^k)) の座標値を与え、その後第 4図の処理を反復的に適用することによって、任意の数の点が生成されることになる。また、 k次元空間での準乱数では、上述した生成行列 Tが、個別の座標毎に個別に用意されることに留意されたい。ここでは、 i番目の生成行列を T ^u)とあらわすものとする。第 4図のステップ 202では、 k次元空間の第 n番目の点

( u u ^(k)) が与えられ、また、生成すべき点の座標の番号 n n

をあらわす値 i が 1 にセットされる。ステップ 204では、所定の素数 b (但し、 bは、次元の数 kよりも大きいかまたは等しい）に従い、 nが b進展開され、数字 nに対応する m元のベクトル（n ny n )を求める計算が行われる。ステップ 206では、ステップ 204で生成された m元のべク卜ル

(η,,η,, π )の要素を迪つて、 η .≠ b— 1 を満たす最小の j が見出される。ステップ 208では、本発明の原理に従い、第 ί 座標の生成行列 T ) の第 j列ベクトルと、 u ^{( 1)}を mo d bで加算し、それによつて

n

u ^(i)が求められる。

n+1 ステップ 2 1 0では、 i = kかどうかが判断される。もしそうなら、第 n + 1番目の点の全ての座標が計算されたことになる。 i = kでなければ、第 n + 1番目の全ての点の座標の計算がまだ完了していないので、ステップ 2 1 2で i を 1增分してから、ステップ 20 8に戻り、第 n + 1番目の点の次の座標の点の計算を行う。では、専用ハードウェアにおいて実施する場合には、どのようにするのかを説明する。第 3図では 1次元の場合のみを考えたが、容易に k次元に拡張できる, すなわち、第 3図における準乱数展開記憶部 1 2が 1 X m個の記 1*位置を有するものであつたのに対し、これを m X mにすればよい。また、生成行列記億部 1 8には生成行列丁が 1 つ記億されていたが、この場合には k個必要になるので、 m x m x k個の記憶位置を有する記憶部とすれぱよい。また結果記憶部 2 0においても、生成された準乱数の座標値の個々の成分を記憶するために、 m X m個の記憶位置を有するように拡張すればよい。そして、制御部 1 0には、 Y の代わりに u ^{( 1 )}

π n

u (^k)を入力する。生成行列制御部 1 8においては、生成行列 Tを 1 つ格納する m X mのブロックごとに管理するようにし、そのブロックを選択する選択信号を制御部 1 0から生成行列記憶部 1 8に出力するようにすることもできる。但し、制御部 1 0には u ^u )を 1度に一つだけ入力するようにするな

n

らば、準乱数展開記憶部 1 2は 1次元の場合と同様であってもよい。準乱数展開記悽部 1 2とは異なり、生成行列記憧部 1 8は、 ί によって生成行列 Τが異なり、すべての i に対し生成行列 Τが必要となるので、前述の大きさの記憶位置を必要とする。また、結果記憶部 2 0は、結果を 1 つ分のみ記憶する場合には 1次元の場合と同様であってもよいが、結果記憶部 2 0から制御部 1 0へのフィードバックのループを用いるので、 k次元分の記憶位置を有することが望ましい。

C ：多重積分計算への応用

次に、 k次元の準乱数を用して多重積分計算を行う処理について、第 5図を参照して説明する。第 5図は、第 2図に示すコンピュータ · システムにおいて、本発明をコンピュータ · プログラムにて実施した場合の処理を示したものである。また、ここでは f (χ_Γ x₂ ,x_k) という k 個の引数をもつ関数を、その個々の引数が張る k次元空間内で多重積分するものとする。第 5図のステップ 302では、結果の積分値が格納される変数 Sと、積分計算用に生成された k次元の準乱数の点の数を格納する変数 nとに 0が格納される。ステップ 304では、 nが 1増分され、ステップ 306では、第 4図に示したステップを利用して、 k次元空間の第 n番目の点

( u u ^(k)) が生成される。

η π ステップ 308では、 f ( u ⁽¹⁾ u ^(k)) が計算され、その結

n n

果の値が Sに加算される。尚、ステップ 306では、 u ^(,)

( l ≤i≤ k> の各々は、 b進展開された個々の值を要素とするべクトルとして扱われたが、ステップ 308で f に代人されるとき、

u ⁽ⁱ⁾ ( 1 ≤i≤ k) はスカラー値として扱われることに留意されたい ₍ n ステップ 3 1 0では、 nが予定の数 Nに達したかどうかが判断され、もしそうでないなら、 nを 1 だけ增分するステップ 304の処理に戻る ₍ 尚、 Nの値は、必要な計算の精度に応じて決定され、 Nの値を大きくとる程精度は向上するが、その分計算時問が長くかかることになる。通常のモンテカルロ法のように、線形合同法によつて乱数を生成した場合、生成される点のばらつきの度合があまり大きくなく、 Nの値を相当に大きくとらないと十分な精度が得られない。準乱数はこの点で改善された性質を示し、生成される点は、線形合同法によって生成された点よりも相当によいばらつきの度合を与え、結果的に、より少ない数の Nで十分な精度を達成することを可能ならしめる。ステップ 3 1 0で nが予定の数 Nに達したと判断されたなら、ステツプ 3 1 2で Sの値を Nで割って正規化した値が Sに格納され、結局、この Sが積分值をあらわすことになる。では、第 3図に戻って多重積分を行うための後処理ブロック 22の説明を行う。この後処理ブロック 22の詳細を第 6図に示す。第 6図において、結果記憶部 20 'は k次元分の記憶位置を有するように拡張されている。この結采記憶部 20'は、数 bを他の入力として有する逆展開部 30に接続されている。この逆展開部 30は、出力をスカラー値記憶部 32に記憶するようになっている。スカラー値記憧部 32には 1の準乱数の k個の座標值を記億できるよう、 k個の記憶位置を有する。そして演算部 34は、スカラー値記憶部 32に接続され、関数 f と準乱数の生成個数 Nも入力とされる。演算部 34は、アキュムレータ 36に接続され、アキュムレータ 36の出力は演算部 34に戻される。次に第 6図の動作を示す。結果記憶部 20 '以前の部分は第 3図において説明したので、結果記憶部 20 'には、既に u_n+1 ⁽¹) u _+] ^(k) のそれぞれにっき b進数展開されたものが記億されているものとして以下の動作を説明する。逆展開部 30は、 u_n+1 ^U),..., u ./k)のそれぞれにっき b進数展開されたものを結果記憶部 20 'から読み出し、それぞれ数 bにて逆展開することにより u_n+1 ⁽¹) u_n+1(^k)を生成する。 k次元であれば、 k個の u_n+1 ⁽¹)が生成されたところで、演算部 3

4は u u _Al ^(k)を取り出す。

n+1 n+1 その前に、演算部 34には被積分関数 f (x_r x₂ x_k) が入力され. 演算部 34にセットされている。よって、この変数 Xiに u_n+1 ⁽¹)を入力すると、関数値 f ( u u_n+1 ^(k)) が計算される。この関数值は、アキュムレータ 36に出力される。演算部 34は、次々に生成される準乱数に対し関数値を計算し、アキュムレータ 36はその関数値を加算、蓄檳されていく。アキュムレータ 36は、カウンタを有しており演算部 34から N回入力されたところで、蓄積された値を演算部 34に戻す。演算部 34でも Nは人力されているので、この Nによりアキュムレー夕 36からの人力を除算する。これにより、関数

f (x n ^{(1 )} X n ^(k)) の k重檳分が行われたこととなる。上記部分においては説明を省略したか、アキュムレータ 36のカウンタは、 Nを示したところでリセットされ、また累積していた値についてもリセットする。

D ：金融派生商品の価格づけ計算への応用

多稻分計箅を必 ¾とする典型的な応用分野として、金融派生商品の価格づけ計の例について説明する。以下に示すのは、抵当された証券の ¾在 E ( P V) の計算式である。

E(P V) = J P V( i , w, a ) f ( i , w, a ) d i dwda ここで、 P Vは次のように与えられる。

ί - v w₇ a_k Π - w Π— νゥ）

P V = C— ÷ C- ÷ C——— 7— -斗 … 上記式において、 Cは、抵当上での定期的な支払いであり、 i _tは、月 tでの利子率であり、 w, tは、月 tでの予納率であり、 a .は、残り

χ-ι

の年金である。

実際的な計算では、かなり長期間に渡って計算が行われ、すると、 i .の数が大きくなるので、一般的には 360次元程度の多重橫分が必要となり、これは、従来の方法では、何日もの計算を要するが、本発明の技法を用いることにより、この計算を数時間以内で完了し得るようになる。以上説明してきた方法及び装置を用いると、高速に準乱数が生成できるので、関数 f の多重積分の計算も高速になった。では、この計算を複数のプロセッサにおいて実行することを考える。

E ：並列処理について

上述では、 Y = Y ADD, T e .と Y = T G v とが等価である

n+1 n b j π π ことを示した。すなわち、任意の ηに対して Υ ηを求めるには、生成行列 Τと行列 G (先に示した）と数 ηを b進数（bは 2以上の素数）したものをベクトルとした V の行列の掛け算にて計算できる。任意の数 n π

に対応できるのは、行列 Gの性質による。そして、 Y がー度生成されれば、 Y は上述した Y =丫 ADD. T e .にて行列の掛け算な

n+1 n+1 n b j

しの高速な方法にて計算される。任意の nに対して Y を計算できるので、 Y _Al= Y ADD. T e .にて必要な nまで 1から空回し計算を行 n+】 n b j

う必要がない。このことが重要である。このことを念頭に置きながら第 7図及び第 8図を参照する。

第 7図は、複数のプロセッサ（42， 44， 46) と、システム制御部 4 0がバス 4 8にて接統されているシステムを表すものである。このシステム制御部 4 0は、第 1 プロセッサ 4 2等のプロセッサとは他に設けてもよいし、複数のプロセッサ《4 2 , 4 4 , 4 6 ) のうち 1 つに含まれるものでもよい。また、システム制御部 4 0は、第 1 プロセッサ等と同様のものでも、専用のものでもよい。このシステムの動作を第 8図を用いて説明する。

システム制御部 4 0は、このシステムにおいて処理に用いることのできるプロセッサの数及びそのプロセッサの I Dを認識し、どのプロセッザには全準乱数のどの部分を割り当てるかを計算する。システム全体のジョブに偏りがなければ、各プロセッサに均等に分割すればよい。但し. 一般的には処理開始番号 s及び処理終了番号 t を処理割当情報として与える。処 S終了番号 tはそのプロセッサにおける準乱数生成個数に Sき換えることができる。また、常に各プロセッサに均等に処理が割り当てられるのであれば、準乱数生成個数又は処理終了番号 tは各プロセッサにいちいち知らせることもないので、それらの送信は省略することもある（ステップ 6 0 ) 。各プロセッサでは、各々異なる処理開始番号 sを受信し、

Y = T G V から Y をそれぞれ生成する（ステップ 6 2 ) 。このように

Π Π S

任意の sに対応する Y を生成できるのは、先ほど述べたように行列 G の性質である。一旦 Y sが生成できると、 Y n ₊+₁1 = Y n A D D . b T e j.に従い、受信した処理終了番号 tに対応する Y _tまでの準乱数を、生成する（ステップ 6 4 ) 。この処理の詳細は、上述で行っているので省略する。これは、第 4図に示した手頤や、第 3図（拡張したものも含む）で示した装置にて実施することができる。さらに、本発明において多重穰分を行う場合には、被積分関数 f も評価しなければならないが、この被積分鬨数 f の評価に時間がかかる場合には、 Y _A1 = Y ADD. T e .にて計箅する方

n+] n b j

法を用いなくとも、いちいち行列の掛け算を行う Y n = T G V nに従って計算しても全体の実行時間は実質的に同じである場合もあるので、ステップ 64は、どちらの方法を用いてもよい。但し、準乱数の生成のみの観点では Y n ₊+₁l = Y n ADD. b T e j .に従って計算する方が高速であることは明らかである。各プロセッサにて割り当てられた準乱数 Y から Y,までが生成された

s t

のち、又は各準乱数が生成されるたびに、システム制御部 40から送られてきた関数 f に代入する。そして、計算された関数値 f ( Y n )

( s≤ n≤ t ) を全て加算し、 S . ( iはプロセッサの番号、プロセッサは h個ある。）を計算する（ステップ 66) 。この計算値 S. ( 1≤ i≤ h ) は、すべてのプロセッサからシステム制御部 40に送信される（ステップ 68) 。システム制御部 40では、送付された S.を全て加算し、全準乱数生成個数 Nで除算する（ステツプ 70) 。これにて、関数 f の多重積分計算は完了した。上述の説明では、生成した準乱数に対する関数値 f ( Y ) を計算した後、その加算を各プロセッサにて行ったが、加算する前にシステム制御部 40に送信してもよい。但し、パス 48のトラフィックや各プロセッサにおける送信処理等のため他の処理が遅くなる場合もある。また、各プロセッサにて準乱数を生成したところで、システム制御部 40に送信することも可能である。この場合には、関数 f を各プロセッサに送信する必要は無くなる。このようにした時の問題は、関数値の加箅前に送信するのと同様である。第 3図及び第 6図で示した装置を各プロセッサに含ませる場合には、第 6図におけるアキュムレータ 36からの出力を演算部 34に戻さず、アキュムレータ 36の出力をそのプロセッサの出力とする変更を必要とする。また、アキュムレータ 36には準乱数の生成個数 Nの入力を必要としているが、この Nは、 1にしておきシステム制御部 40においてまとめて除算する。各プロセッサにおいて計算する準乱数の数が同じならば、 Nをそのプロセッサにおいて処理する準乱数の個数に置き換えてもよい。以上、並列処理の説明においては簡単のため Y をもって説^したが、これは（u n u n _Al ^(k)) とするように拡張することは前述の

+1 +1

ようにできるので、それにより多重橫分処理を行うとの意味である。なお、第 8図のステップ 64においては Y ₊₁ = Y ADD, T e .又は Y =TG ν に従って計箅するとした力¹、各プロセッサはどちらに従 n n

つても計算できるようにしておき、システム制御部 40が関数 f の性質を検知して、どちらの方法を各プロセッサが実施すべきかを示すスィッチ情報を送信するようにしてもよい。また、 LANなどで接続された分散処理環境で複数台の処理装置を接統し、各々の処理装置のローカル ' メモリを分散して使用することにより、巨大な次元の処理に対処したりすることも上述の簡単な変形にて実施できる。以上述べた、コンピュータ ' プログラムにより実行する形態をとる場合には、各ステップに対応するプログラム · コードにて本発明を実現し, それを含む、フロッピーディスクや C D— ROM、 MOディスク等の記憶媒体にて流通させることは、当業者が容易に実施可能な事項である。

[産業上の利用可能性]

以上説明したように、この発明は、準乱数の生成において、行列の 1 つの列とのモジュロの和を行うという技法を提供することにより、準乱数の生成速度を極めて向上させる、という顕著な効果を与えるものである。これによつて、準乱数を利用するさまざまな数値計算（典型的には多重積分）の計算速度が実質的に改善される。さらに、並列処理を行うことによりより高速に準乱数が計算され、それによって多重積分の計算等も高速に行えるようになつた。並列処理の場合には、全体の積分計算時間を考えた場合に、行列の掛け算でも十分な計算速度を得るようにすることもできた。尚、上記実施例では、金融派生商品の価格づけ計算への応用例について説明したが、計算物理、流体力学、コンピュータ · グラフィックスなどの広範な分野に本発明を適用することが可能である。このような準乱数を使用する計算技法の背景については、例えば、丄 F. Traub,

H. ozniakowski, "Breaking Intractabi 1 ity", SCIENTIFIC AMERICAN

January 1994などを参照されたい。

Claims

請求の範囲

1 . (a) n番目（nは、 1以上の整数）の準乱数 Ynの値を b進数（ bは，

2以上の素数）展開し、生成された m個の成分（ _{V l} y _r y ) を順番に第 1記悚部に記億する手段と、

(b)数 nの b進数展開（η , η , η,) を計算し、第 2記饯部に頃 m m~ 1 I

番に記 isする手段と、

(c)前記第 2記慷部をから順番に走査して、 b— 1 となる最小の順番 j を検出する検出手段と、

( 前記検出手段に応答し、予め記憶された、前記準乱数の生成行列 T の第 j列の成分 j _t. j ) 及び前記第 1記慷部に記憶された準乱数 Υηの成分を順番に取り出し、同一の順番で取り出された前記生成行列 Τの第 j列の成分 j ·及び準乱数 Yr«の成分 y；を法 bで加算し、加算結果を順番に第 3記憧部に記憶する手段と

を有する準乱数生成装置。

2. (a) n番目（nは、 1以上の整数）の準乱数 Ynの値を b進数（ bは，

2以上の素数）展開し、生成された m個の成分（ _{y i} y y )

J m一 I in を順番に第 1記憶部に記憶するステップと、

(b)数 nの b進数展開（ η , η ... . . . η , ) を計算し、第 2記憶部に順番に記憶するステップと、

(c)前記第 2記億部をから順番に走査して、 b— 1 となる最小の順番 j を検出する検出ステップと、

( 前記検出ステップに応答して、予め記憶された、前記準乱数の生成行列 Tの第 j列の成分（ j， J j ) 及び前記第 1記憶部に記

1 m一 1 m

悽された準乱数 Υηの成分を順番に取り出し、同一の順番で取り出された前記生成行列 Tの第 j列の成分 j i及び準乱数 Ynの成分 y；を法 bで加算し、加算結果を順番に第 3記憶部に記憶するステップと

を含む準乱数生成方法。

3. (a) n番目（nは、 1以上の整数）の準乱数（u ⁽¹⁾ u ^(k) ) n n の個々の座標値 ιι_η ^(ί) ( 1≤ i ≤k) を、 b進数（bは、 kより大きいか又は等しい素数）展開し、各前記座標值にっき、生成された m個の成分を、頫番に第 1記憶部に記憶する手段と、

(b) 数 nの b進数展開（n . n η,) を計算し、第 2記憶部に順番に記憶する手段と、

(c) 前記第 2記憶部をから順番に走査して、 n .≠ b— 1 となる最小の順番 j を検出する検出手段と、

(d) 前記検出手段に応答して、予め記憶された、前記準乱数の第 i番目 ( 1≤ i ≤ k) の座標のための生成行列 T^u)の第 j列の成分及び前記 n番目の準乱数の第 ί番目の座標値の成分を順番に取り出し、同一の順番で取り出された前記生成行列 Τ )の第 j列の成分及び前記 n番目の準乱数の第 i番目の座標値の成分とを法 bで加算し、加算結果を順番に第 3記憶部に記憶する手段と

を有する準乱数生成装置。

4. (a) n番目（nは、 1以上の整数）の準乱数（u ⁽¹⁾ u ^(k) ) η π の個々の座標値 u ⁾ { 1 ≤ i ≤ k ) を、 b進数（ bは、 kより大きい

π

か又は等しい素数）展開し、各前記座標値につき、生成された m個の成分を、順番に第 1記憶部に記憶するステップと、

(b) 数 nの b進数展開（ η , n η,) を計算し、第 2記憶部に m m - 1 1

順番に記憶するステップと、 (c) 前記第 2記憶部をから順番に走査して、 rij≠b— 1 となる最小の頃番 j を検出する検出ステップと、

(d) 前記検出ステップに応答して、予め記憶された、前記準乱数の第 ί 番目（ 1 ≤ i ≤k) の座標の生成行列 T(uの第 j列の成分及び前記 n 番目の準乱数の第 i番目の座標値の成分を順番に取り出し、同一の頗番で取り出された前記生成行列 T )の第 j列の成分及び前記 n番目の準乱数の第 i番目の座標值の成分とを法 bで加算し、加算結果を順番に第 3記慷部に記悽するステップと

を含む準乱数生成方法。

5. (a) k個の要素に関連する関数 f ( x_r x₂ x_k) を規定する手段と、

(b) n番目（nは、 1以上の整数）の準乱数（u ⁽¹⁾ u ^(k)) の

n n

個々の座標值 u ⁽ⁱ⁾ { 1 ≤ i ≤k) を、 b進数 <bは、 kより大きいか

n

又は等しい素数）展開し、各前記座標値につき、生成された m個の成分を顚番に第 1記憶部に記憶する手段と、

(c) 数 nの b進数展開（η , η , η,) を計算し、第 2記憶部に

m m一 1 1

順番に記憶する手段と、

(d) 前記第 2記憶部をから頫番に走査して、 b— 1 となる最小の順番 j を検出する検出手段と、

(e) 前記検出手段に応答して、予め記憶された、前記準乱数の第 i番目 { 1 ≤ i ≤k) の座標のための生成行列 T )の第 j列の成分及び前記 η番目の準乱数の第 i番目の座標値の成分を順番に取り出し、同一の順番で取り出された前記生成行列 T ^u)の第 j列の成分及び前記 n番目の準乱数の第 i番目の座標値の成分とを法 bで加算し、加算結果を順番に第 3記憶部に記憶する手段と (f) m個の前記加算結果が生成されるごとに b進数逆展開し、生成された u_n+1 ^u)を第 4記慷部に記悽する手段と、

(g) 前記手段（f)が座標値 u ( 1 ≤ i ≤ k ) を前記第 4記慷部に記慊した場合には、 f (u u_n+1(^k)) の値を計算する手段と、

(h) 前記手段（b)乃至（g)を制御して、 f ( u ⁽¹⁾ u ^(k)) の值を

n n

n= lから n = N (Nは、 1 より大きい所定の整数）まで累積する手段と、

(i) 前記累積手段に応答して、前記累積値を Nで除算する手段とを有する関数 f の多重積分計算装置。

6. (a) k個の要素に閧連する関数 f ( x_r x₂,..., x_k) を規定するステップと、

(b) n番目（nは、 1以上の整数）の準乱数（u ⁽¹⁾ u ^(k)) の

n n

個々の座標値 u ⁽ⁱ⁾ ( 1≤ i ≤k) を、 b進数（bは、 kより大きいか又は等しい素数）展開し、各前記座標値につき、生成された m個の成分を順番に第 1記憶部に記憶するステップと、

(c) 数 nの b進数展開（η , n ,, .... 11 , ) を計算し、第 2記憶部に

m m - 1 1

順番に記憶するステップと、

(d) 前記第 2記憶部をから順番に走査して、 n .≠ b— 1 となる最小の順番 jを検出する検出ステップと、

(e) 前記検出ステップに応答して、予め記憶された、前記準乱数の第 ί 番目（ 1 ≤ ί ≤k) の座標のための生成行列 T )の第 j列の成分及び前記 n番目の準乱数の第 i番目の座標値の成分を順番に取り出し、同一の順番で取り出された前記生成行列 T ^U)の第 j列の成分及び前記 n番目の準乱数の第 i番目の座標値の成分とを法 bで加算し、加算結果を順番に第 3記使部に記使するステップと、

(f) m個の前記加算桔采が生成されるごとに b進数逆展開し、生成された u_n+1 )を第 4記慷部に記億するステップと、

(g) 前記ステップ（Πが座標値 u ( 1 ≤ i ≤k) を前記第 4記憶部に記憶した場合には、 f ( u u .^¹ ) の値を計算するステップと、

(h) 前記ステップ（b)乃至ステップ（g)を繰り返し、

f ( u ⁽¹⁾ u (^k)) の値を n= lから n = N (Nは、 1 より大き n n

い予定の整数）までアキュムレータにて累横するステップと、

(i) 前記アキュムレータに応答して、前記累積値を Nで除算するステツプと

を含む関数 f の多重積分計算方法。

7. 複数のプロセッサと、

前記複数のプロセッサの各々に、処理開始番号 sを含む処理割当情報を送信する手段とを有し、

各前記プロセッサが、

(a) 前記処理割当情報を受信し、前記処理開始番号 sに対応する準乱数 (u ⁽¹⁾ u ^(k)) を生成し、第 1記憶部に記憶する手段と、

S S

(b) n番目の準乱数（u ⁽¹⁾ u ^(k)) の個々の座標値 u ⁽ⁱ⁾ n n n

( 1 ≤ i ≤ k ) を、 b進数（bは、 kより大きいか又は等しい素数）展開し、各前記座標値につき、生成された m個の成分を順番に第 2記憶部に記憶する手段と、

(c) 数 nの b進数展開（n . n η,) を計算し、第 3記憶部に

m DI~ i 1

順番に記憶する手段と、

(d) 前記第 3記憶部を n】から順番に走査して、 nj≠ b— 1 となる最小 -35- の順番 j を検出する検出手段と、

(c) 前記検出手段に応答して、予め記憶された、前記準乱数の第〖番目 ( 1 ≤ i ≤ k ) の座標のための生成行列 Τ^(ί)の第 j列の成分及び前記 n番目の^乱数の第 i 番目の座標値の成分を順番に取り出し、同一の順番で取り出された前記生成行列 T (^uの第 j列の成分及び前記 n番目の準乱数の第 i番目の座標値の成分とを法 bで加算し、加算結果を順番に第 4記憶部に記憶する手段と、

(Γ) m個の前記加箅結果が生成されるごとに b進数逆展開し、生成された u_n+] ⁽ⁱ)を前記第 1記億部に記憶する手段と、

(g) 前記手段（b)乃至手段（Γ)を制御して、 s + 1番目の準乱数

( u ⁽¹⁾ u . _} ^k) ) から当該プロセッサにおける処理終了番号 s+1

tに対応する準乱数（ u_t ⁽¹) u. ^(k)) までを前記第 1記憶部に記憶させる制御手段と

を有する準乱数生成システム。

8. 前記手段 ) が、

数 nの b進数展開 ( n . n n _} ) を計算し

m-1' の計算結果により生成されるベクトル V = ( η,, (i) η η ) と生成行列 Τ n 1

( 1 ≤ k ) と行列 G

とを用いて、 n番目の準乱数の i 番目の座標値 u ^{( 1})を生成する生成手段を含む請求項 7記載の準乱数生成システム。

9. システム制御手段と複数のプロセッサとを有するコンピュータ · システムにおいて、

5 (a) 前記複数のプロセッサの各々に、処理開始番号 sを含む処理割当情報を前記システム制御手段から送信するステップと、

(b) 各前記プロセッサにおいて前記処理割当情報を受信し、前記処理開始番号 sに対応する準乱数（ u u_g ^(k)) を生成し、第 1記憶部に記憶するステップと、

】0 (c) 各前記プロセッサにおいて、 n番目の準乱数（ u ⁽¹⁾ u ^(k)) π n の個々の座標値 u ⁽ⁱ⁾ ( 1 ≤ i ≤ k) を、 b進数（bは、 k J: り大きい

π

か又は等しい素数）展開し、各前記座標値につき、生成された m個の成分を順番に第 2記憶部に記憧するステップと、

(d) 各前記プロセッサにおいて、数 nの b進数展開（ η , n ......

m m - 1

15 nj) を計算し、第 3記憶部に順番に記憶するステップと、

(e) 各前記プロセッサにおいて、前記第 3記憶部を 11〗から順番に走査して、 n .≠ b— 1 となる最小の順番 j を検出する検出ステップと、

(f) 各前記プロセッサにおいて、前記検出ステップに応答し、予め記憶された、前記準乱数の第 i 番目（ 1 ≤ i ≤ k ) の座標のための生成行列

20 ！^ の第」列の成分及び前記 n番目の準乱数の第 i 番目の座標値の成分を順番に取り出し、同一の順番で取り出された前記生成行列 T ⁽¹)の第 j列の成分及び前記 n番目の準乱数の第 i 番目の座標値の成分とを法 bで加算し、加算結果を順番に第 4記憶部に記憶するステップと、

(g) 各前記プロセッサにおいて、 m個の前記加算結果が生成されるごと 25 に b進数逆展開し、生成された u を前記第 1記憶部に記憶するス

テツプと、 (h) 各前記プロセッサにおいて、前記ステップ（c)乃至（g)を *Sり返し、

(1) . (k)

s + 1番目の準乱数（ u U ) から当該プロセッサに

s+1 s+1

(1) -- (k)

おける処理終了番号 t に対応する準乱数 ( u u ) までを前記第 1記憶部に記憶するステップと

を含む準乱数生成方法。

1 0. 前記ステップ（b)が、

数 nの b進数展開ぐ η , n nj) を計算し、その計算結果に

m-r ..

(i) より生成されるベクトル V = ( n, n n ) と生成行列 T η 1 m-1 m

( 1 ≤ i ≤ k ) と行列 G

(i)

とを用いて、 n番目の準乱数の i 番目の座標値 u を生成するステツプを含むことを特徴とする請求項 9記載の準乱数生成方法 ₍

1 1 . 衩数のプロセッサを有するコンピュータ ' システムにおいて、 (a) 各前記プロセッサにおいて、予め定められた処始岙 · s に対応する準乱数 ( u ⁽¹⁾ u ^(k) ) を生成し、 31 記 ^部に記^するステツプと、

(1) (k)

(b) 各前記プロセッサにおいて、 n番目の準乱数 ( υ

(i)

の個々の应樑値 u ( 1 ≤ i ≤ k ) を、 b進数（ bは、 kより大きいか又は等しい素数）展開し、各前記座標 ffiにっき、生成された m個の成分を順番に第 2記憶部に記慷するステップと、

(c) 各前記プロセッサにおいて、数 nの b進数展開（n ，

m n

Β-Γ' nj) を計算し、第 3記憶部に順番に記悌するステップと、

(d) 各前記プロセッサにおいて、前記第 3記悽部を rijから順番に走査して、 n.≠ b— 1 となる最小の頫番 jを検出する検出ステップと、

(e) 各前記プロセッサにおいて、前記検出ステップに応答し、予め記憧された、前記準乱数の第 i番目（ 1 ≤ i ≤k) の座標のための生成行列 T、uの第 j列の成分及び前記 n番目の準乱数の第 i番目の座標値の成分を順番に取り出し、同一の順番で取り出された前記生成行列 T )の第 ·）列の成分及び前記 n番目の準乱数の第 i番目の座標値の成分とを法 bで加算し、加算結果を順番に第 4記億部に記憶するステップと、

(f) 各前記プロセッサにおいて、 m個の前記加算結果が生成されるごとに b進数逆展開し、生成された u ₊₁ )を前記第 1記憶部に記憶するステツプと、

(g) 各前記プロセッサにおいて、前記ステップ（b)乃至（Πを繰り返し、 s + 1番目の準乱数（u_s+1 ⁽¹) u_s+1(^k)) から当該プロセッサにおける処理終了番号 tに対応する準乱数（u.⁽¹) u_t ^(k)) までを前記第 1記憶部に記憶するステップと

を含む準乱数生成方法。

1 2. 複数のプロセッサと、

前記複数のプロセッサの各々に、 k個の要素に関連する関数

f ( x_r x₉ x_k) 及び処理開始番号 sを含む処理割当情報を送信するシステム制御手段とを有し、

各前記プロセッサが、

(a) 前記処理割当情報を受信し、前記処理開始番号 sに対応する準乱数 (u_o ⁽¹⁾ u。（^k)) を生成し、第 1記憶部に記憶する手段と、

(b) n番目の準乱数（u u ^(k)) の個々の座標値 u ⁾ n n n

( 1≤ i ≤k) を、 b進数（bは、 kより大きいか又は等しい素数）展開し、各前記座標値につき、生成された m個の成分を順番に第 2記憶部に記慷する手段と、

(c) 数 nの b進数展開（n . η , η,) を計算し、第 3記憶部に

m m* 1 I

順番に記憶する手段と、

(d) 前記第 3記憶部を _{Π ι}から順番に走査して、 η .≠ b— 1 となる最小の順番 j を検出する検出手段と、

(e) 前記検出手段に応答し、予め記憶された、前記準乱数の第 ί番目

( 1 ≤ i ≤ k ) の座標のための生成行列 T )の第 j列の成分及び前記 n番目の準乱数の第 i番目の座標値の成分を順番に取り出し、同一の順番で取り出された前記生成行列 Τ^(ί)の第 j列の成分及び前記 n番目の準乱数の第 i番目の座標値の成分とを法 bで加算し、加算結果を頫番に第 4記憶部に記憶する手段と、

(f) m個の前記加算結果が生成されるごとに b進数逆展開し、生成された u_n+1 ⁽ⁱ)を前記第 1記憶部に記憶する手段と、

(g) 前記手段（b)乃至（f)を制御して、 s + 1番目の準乱数（u ._} ^{}),.

... u ^ ^ik) ) から当該プロセッサにおける処理終了番号 tに対応する s+】

準乱数（u_t ⁽¹) u_t ^(k)) までを前記第 1記憶部に記憶させる制御手段と、

(h) 前記関数 f を受信して、前記第 1記憶部に格納された準乱数

( u ⁽¹⁾ u ^(k)) ( s≤n≤ t ) を取り出し、

n n

f ( u ⁽¹⁾ u ^(k)) の値を計算する手段と、

n n

(i) 生成された関数值 f (u ⁽¹⁾ u ^(k)) ( s≤ n≤ t ) を累積

n n

する累積手段と、 (j) 前記累秸手段により計算された値を、前記システム制御手段に送信する手段と

を有し、

前記システム制御手段が、前記各プロセッサから送信された値を累積し、すべての前記プロセッザの準乱数生成個数で累積値を除算する、関数 f の多重積分を行うコンピュータ · システム。

1 3. 前記手段（a)が、

数 nの b進数展開（ η を計算し、その計算結果に

より生成されるべクトル V ： ( n r ... n _v n ) と生成行列 Τ ^Π) m一 J m

( 1 ≤ i ≤ k ) と行列 G

とを用いて、 n番目の準乱数の i 番目の座標値 u_n ^{( l})を生成する生成手段を含むことを特徴とする誚求 ¾ 1 2記載の f !数 f の多分を行うコンピュータ · システム。

1 4. システム制御手段と祓数のプロセッサとを ¾するコンピュータ - システムにおいて、

(a) 前記複数のプロセッサの各々に、 kiWの要素に! ¾迚する ί¾数 f ( _{X ]>} x₀ x_k) 及び処¾'1¾始岙号 sを含む処 ¾¾ 当情報を前記システム制御手段から送信するステップと、 (b) 各前記プロセッサにおいて、前記処理割当情報を受信し、前記処理開始番号 sに対応する準乱数（ u u ^(k)) を生成し、第 1記

S S

僮部に記悌するステップと、

(c) 各前記プロセッサにおいて、 n番目の準乱数（ u u ^(k) ) n n の個々の座標値 u_n ^{( l)} U ≤ i ≤ k ) を、 b進数（ bは、 kより大きいかまたは等しい素数）展開し、各前記座標値につき、生成された m個の成分を順番に第 2記億部に記憶するステップと、

(d) 各前記プロセッサにおいて、数 nの b進数展開（η , η

を計算し、第 3記憶部に順番に記憶するステップと

(e) 各前記プロセッサにおいて、前記第 3記憶部をから順番に走査して、 n .≠ b— 1 となる最小の順番《5 を検出する検出ステップと、

(f) 各前記プロセッサにおいて、前記検出ステップに応答して、予め記憶された、準乱数の第 i番目（ l ≤ i ≤ k ) の座標の生成行列 T ^u)の第 j列の成分を順番に取り出し且つ前記準乱数の第 i 番目の座標値の成分を順番に取り出し、同一の順番で取り出された前記生成行列 T ^{V 1})の成分及び前記準乱数の成分を法 bで加算し、加算結果を順番に第 4記憶部に記憶するステップと、

(g) 各前記プロセッサにおいて、 m個の前記加算結果が生成されるごとに b進数逆展開し、生成された u ^(^)を前記第 1記憶部に記憶するステツプと、

(h) 各前記プロセッサにおいて、前記ステップ（c)乃至（g)を繰り返し、 s + 1番目の準乱数（ u_s+1 ⁽¹) u ₊₁ ^(k) ) から当該プロセッサにおける処理終了番号 tに対応する準乱数（ u . ⁽¹) u_t ^(k) ) までを前記第 1記憶部に記憶するステップと、

(i) 各前記プロセッサにおいて、前記第 1記憶部に格納された準乱数

( ⁽¹⁾ u ^(k) ) ( s ≤ n≤ t ) を取り出し、

π n f ( u ⁽¹⁾ u ^(k)) の ffiを計算するステップと

(j) 各前記プロセッサにおいて、生成された関数値

f { u ⁽¹⁾ u ^(k)) ( s≤ n≤ t ) をアキュムレータにより累稻 n n

するステップと、

(k) 各前記プロセッサにおいて、前記アキュムレータにより累橫された值を、前記システム制御手段に送信するステップと、

(1) 前記システム制御手段において、前記各プロセッサから送信された値を累積し、すべての前記プロセッサの準乱数生成個数で累積値を除算するステップと

を含む関数 f の多重橫分計算方法。

1 5. 前記ステップ（b)が、

数 nの b進数展開（η , η , η,) を計算し、その計算結果に

m Hi- 1 i

より生成されるベクトル v = ( n, n n ) と生成行列 T⁽¹⁾

( 1≤ i ≤ k ) と行列 G

(Ϊ)

とを用いて、 n番目の準乱数の i番目の座^値 u を生成するステツプを含む請求 ¾ 1 4記^の [¾¾ f の多 311¾分方法。

1 6. 衩数のプロセッサと、

前記複数のプロセッサの各々に、処 S開始番号 sを含む処¾!割当情報 -Ί3- を送信する手段とを有し、

各前記プロセッサが、

(a) 前記処理割当情報を受信する手段と、

(b) 数 nの b進数展開 ( η , η .... η,) を計算し、その計箅桔采により生成されるべク卜ル V (i)

( n n ,. η ) と生成行列 Τ { 1 ≤ i ≤ k ) と行列 G

とを用いて、 n番目の準乱数の i 番目の座標値 u )を生成する生成手

η

段と、

(c) 前記生成手段が前記処理開始番号 S に対応する乱数

( u ⁽¹⁾ u ^(k) ) から当該プロセッサにおける処理終了番号 tに

S S

(1)

対応する準乱数 ( U ., u_t ^(k)) を生成するように、数 n

(i)

( s≤ n≤ t ) と前記生成行列 T ^1/ ( 1 ≤ i ≤ k ) と前記行列 Gを、前記生成手段に入力する制御手段と

を有する

準乱数生成システム。

1 7. システム制御手段と衩数のブ口セッサとをおするコンピュータ - システムにおいて、

(a) 前記システム制御手段が、処理開始番号 s を含む処¾割当佶報を前記複のプロセッサに送信するステップと、 -^^ -

(b) 各前記プロセッサにおいて、前記処 s割当惜報を受信するステップと、

(c) 各前記プロセッサにおいて、数 nの b進数展開 ( η m， η ID~ , i _{n ]}) を計算し、その計箅結采により生成されるベクトル v_n= ( n_r -.

.. n n ) と生成行列 T"〉（ 1 ≤ i ≤ k) と行列 G

m- 1 m

とを用いて、 n番目の準乱数の i番目の座標値 u_n( を生成する生成ステツプと、

(d) 各前記プロセッサにおいて、前記生成ステップにより前記処理開始

(1) (k)

番号 sに対応する準乱数 ( u U ) から当該プロセッサおける処 S終了番号 tに対応する準乱数 ( u ⁽¹⁾ .-.. u_L ^(k)) を生成するように、数 n ( s≤ n≤ t ) を順に供給して、前記生成ステップを ^り返させるステップと

を含む準乱数生成方法。

1 8. 祓数のプロセッサと、

前記複数のプロセッサの各々に、 k個の ¾素に ί¾迚する I 数 f ( x_r x₂ x_k) と処理^始^号 sを含む処¾别当恬報を送信するシステム制御手段とを有し、

各前記プロセッサが、

(a) 前記処¾割当情報を受信する手段と、 (b) 数 nの b進数展開 ( n . n ... nj) を計算し、その計^結果により生成されるベクトル v_n= ( n_r n n ) と生成行列 T (i)

( 1≤ i ≤ k ) と行列 G

とを用いて、 n番目の準乱数の i番目の座標値 u )を生成し、記憶手

η

段に記憶する生成手段と、

(c) 前記生成手段が前記処理開始番号 sに対応する準乱数（u

s

, u ^(k) ) から当該プロセッサにおける処理終了番号 tに対応する準乱

(1) (k)

数（ U u_t ' ) を生成するように、数 n ( s≤ n≤ t ) と前

(i)

記生成行列丁、" ( 1 ≤ i ≤ k ) と前記行列 Gを、前記生成手段に人力する制御手段と、

(d) 前記関数 f を受信し、前記記傥手段に準乱数 ( u ⁽¹⁾ u ^(k)) ti n が記愤されたところで、各座標 i£iu ^(|ノを取り出し、

n

f ( u u ^(k)) の値を計 ίや:する手段と、

η η

(c) (1) (k)

生成された | ¾俯 f ( u , υ ) < s ≤ η≤ L ) をする ¾ 手段と、

(1) 前記手段により ¾¾ された ffiを、前記システム制御手段に送信する手段と

を有し、

前記システム制御手段は、前記各プロセッサから送信された «iを累し、すべての前記プロセッサの準乱数生成個¾で累^値を除箅する -Ί6-

関数 f の多重 ίδ·分計算システム,

1 9. システム制御手段と祓数のプロセッサとを有するコンピュ一タ - システムにおいて、

(a) 前記システム制御手段が、前記複数のプロセッサの各々に、 k個の要素に関連する関数 f ( x_r x₉ x_k) と処理開始番号 sを含む処理割当情報を送信するステップと、

(b) 各前記プロセッサにおいて、前記処 S割当情報を受信するステップと、

(c) 各前記プロセッサにおいて、数 nの b進数展開 ( n . η , nj) を計算し、その計算結果により生成されるベクトル v_n= ( n_r ..

.. n ,, η ) と生成行列 T ⁽ⁱ) ( 1 ≤ i ≤ k ) と行列 G

m— 1 m

とを用いて、 n番目の準乱数の i 番目の座楞 fiu_n(')を生成し、記 IS手段に記する生成ステップと、

(d) 各前記プロセッサにおいて、前記生成ステップにより前記処¾1 始

(1) (k)

¾号 sに対応する準乱数 ( u ) から当該プロセッサ

(1) (k

おける処 ¾終了番号 tに対応する準乱 ¾ ( u _L ■ ... , u _t ) l 成するように、数 n ( s≤ n≤ t ) を顺に供給して、前記生成ステップを -り返させるステップと、

(e) 各前記プロセッサにおいて、前記 f を受信し、前記記 tS手段に準乱数（ u ⁽¹⁾,..., u ^(k)) が記億されたところで、各座標値 u ^(ί) η η η を取り出し、 f (u u (^k)) の値を計算するステップと、

n n

(f) 各前記プロセッサにおいて、生成された関数値

f ( u ⁽¹⁾ u ^(k)) ( s≤ n≤ t ) を累橫するステップと、

π n

(g) 各前記プロセッサにおいて、前記ステップ（Πにより累積された値を、前記システム制御手段に送信するステップと、

(h) 前記システム制御手段が、前記各プロセッサから送信された値を累積し、すべての前記プロセッサの準乱数生成個数で累穑値を除算するステツプと

を含む関数 f の多重積分計算方法。

20. コンピュータの処理によって、準乱数を生成するシステムであつ

(a) n番目（nは、 1以上の整数）の準乱数 Y の値を、 b進数（bは、

n

1 より大きいか又は等しい素数）展開された m個の成分をもつベクトルとして保持する手段と、

(b) 数 nの b進数展開（n ， n η,) を計算し、数 ηベクトル

m in' i 1

(n, n n ) として保持する手段と、

1 m - 1 m

(c) 前記数 nべクトルの要素を順番に走査し、 n .≠ b— 1 となる最小の要素番号 j を検出する手段と、

(d) 上記検出された要素番号 jに基づき、準乱数の生成行列 Tの第 j列ベクトルと、 Y の値をあらわすベクトルとを法 bで加算し、その結果

n

を n + 1番目の準乱数 Y ₊₁として保持する手段と

を有する準乱数生成システム。

21. コンピュータの処理によって、準乱数を生成する方法であって、 (a) n番目（ nは、 1以上の整数）の準乱数 Y_nの值を、 b進数（ bは、 1 より大きいか又は等しい素数）展開された m個の成分をもつべクトルとして保持するステップと、

(b) 数 nの b進数展開（ n . η , n を計算し、数 nベクトル

m ID- J 1

( n, n n ) として保持するステップと、

1 n-1 a

(c) 前記数 nべク卜ルの要素を順番に走査し、 n .≠ b— 1 となる最小の要素番号 j を検出するステップと、

(d) 上記検出された要素番号 j に基づき、準乱数の生成行列 Tの第 j列ベクトルと、 Y の値をあらわすベクトルとを法 bで加算し、その結果

n

を n + 1番目の準乱数 Y ₊₁として保持するステップと

を含む準乱数生成方法。

22. コンピュー夕の処理によって、 k次元（ kは 1 より大きい整数）準乱数を生成するシステムであって、

(1)

(a) n番目（ nは、 1以上の整数）の準乱数（ u u ^(k)) の

n

値を、その個々の要素 u ^{( i)} ( 1 ≤ i ≤ k ) が、 b進数（ bは、 kより

n

大きいか又は等しい素数）展開された m個の成分をもつベクトルであるように保持する手段と、

(b) 数 nの b進数展開（ η , η , η, ) を計算し、数 ηベクトル

m m~ 1 i

( n, n n ) として保持する手段と、

1 m-J m

(d) 上記検出された要素番号 j に基づき、準乱数の第 ί 番目

( 1 ≤ i ≤ k ) の座標のための生成行列 Τ^(ί)の第 j列ベクトルと、 u ⁽¹)の値をあらわすベクトルとを法 bで加算し、その結果を n + 1番 n

目の準乱数の i 番目の座標値 u . ^)として保持する手段とを有する準乱数生成システム。

23. コンピュータの処理によって、 k次元（ kは 1 より大きい整数）準乱数を生成する方法であって、

5 (a) n番目（nは、 1以上の整数）の準乱数（ u ⁽¹⁾ u ^(k) ) の

n n

値を、その個々の要素 u ^(,) ( 1 ≤ i ≤ k ) 、 b進数（ bは、ょり大きいか又は等しい素数）展開された m個の成分をもつべク卜ルであるように保持するステップと、

(b) 数 nの b進数展開（η , n η,) を計算し、数 ηベクトル

ID ID" 1 1

】0 ( n, n ，， n ) として保持するステップと、

(c) 前記数 nべクトルの要素を順番に走査し、 n .≠ b— 1 となる最小の要素番号 j を検出するステップと、

(d) 上記検出された要素番号 j に基づき、準乱数第 i番目

( 1 ≤ i ≤ k) の座標の生成行列 T^u)の第 j列ベクトルと、 u )の

π

15 値をあらわすベクトルとを法 bで加算し、その結果を n + 1番目の準乱数の i 番目の座標値 u_n+I ^u)として保持するステップと

を含む準乱数生成方法。

24. コンピュータの処理によって、閧数 f ( x_r x₂ x_k) の k 0 重（ kは 1 より大きい整数）積分を計算するためのシステムであって、

(a) n番目（ nは、 1以上の整数）の準乱数（ u u ^(k) ) の

n n

値を、その個々の要素 ii ^{( i)} ( 1 ≤ i ≤ k ) 力 <、 b進数（ bは、より

n

大きいか又は等しい素数）展開された m個の成分をもつべクトルであるように保持する手段と、

5 (b) 数 nの b進数展開（η , η , η，）を計算し、数 ηベクトル

( η,,.... η _Λ, n ) として保持する手段と、

I m" i m (c) 前記数 nべク卜ルの要素を順番に走査し、 n .≠ b— 1 となる最小の要素番号 jを検出する手段と、

(d) 上記検出された要素番号 jに基づき、準乱数の第 i番目

( 1 ≤ i ≤k) の座標の生成行列 T( の第 j列ベクトルと、 u ^u)の

n 値をあらわすベクトルとを法 bで加算し、その結果を n + 1番目の準乱数の i番目の座標値 u . ^)として保持する手段と、

(e) i を 1から順次増分させながら、上記手段（d)によつて、座標値

(i)

u を、 1 i ≤ kに亘つて計算する手段と、

n+1

(f) 上記手段（e)の計算の完了に応答して、 f (u u _i+1 ^(k)) の値を、橫分値を格納するための変数 Sに加算する手段と、

(g) 上記手段（a)から上記手段（f)までを制御して、 n = lから n = N (Nは、 1 より大きい予定の整数）まで Sの値を計算し、結果の値 Sを

Nで割ることによって関数 f ( x_r x„ x_R) の k重積分値を計算する手段と

を有する多重積分計算システム。

25. コンピュータの処理によって、鬨数 f ( X j. Xo x_k) の k 重（ kは 1 より大きい整数）積分を計算するための方法であって、

(a) n番目（nは、 1以上の整数）の準乱数（u ⁽¹⁾ u ^(k) ) の

η π

値を、その個々の要素 u ^(ί) ( 1≤ i ≤ k ) が、 b進数（bは、より

n

大きいか又は等しい素数）展開された m個の成分をもつべク卜ルであるように保持するステップと、

(b) 数 nの b進数展開 <η , η , η,) を計算し、数 ηベクトル

ID Dl~ I i

( n. n n ) として保持するステップと、

1 in -】 m

(c) 前記数 nべクトルの要素を順番に走査し、 n .≠ b— 1 となる最小の要素番号 j を検出するステップと、 (d) 上記検出された要素番号 jに基づき、準乱数の第 ί番目

( 1 ≤ i ≤ k ) の座標の生成行列 T^u)の第 j列ベクトルと、 u ^{( ί)}の

π 値をあらわすべクトルとを法 bで加算し、その結果を n + 1番目の準乱数の i番目の座標値 u ₊₁ ^(ί)として保持するステップと、

(e) 座標値 u_n+1 ⁽¹)を、 1≤ i ≤ kに亘つて計算するように、 iの值を増分しながら上記ステップ（d)の計算を反復するステップと、

(f) 上記ステップ（e)の計算の完了に応答して、

f (u_n+1 ⁽¹⁾ u_n+1 ^(k)) の値を、積分値を格納するための変数 S に加算するステップと、

(g) 上記ステップ（a)から上記ステップ（f)によつて、 n = lから n = N

(Nは、 1 より大きい予定の整数）まで Sの値を計算し、結果の値 Sを

Nで割ることによって関数 f ( x_r x„ x_k) の k重積分值を計算するステップと

を含む多重積分計算方法。

26. 複数のプロセッサと、

前記複数のプロセッザの各々に、処理開始番号 sを含む処理割当情報を送信する手段とを有し、

各前記プロセッサが、

(a) 前記処理割当情報を受信し、前記処理開始番号 sに対応する準乱数 ( u ⁽¹⁾ u ^(k)) を生成し且つ保持する手段と、

S S

(b) n番目（nは、 1以上の整数）の準乱数（u u ^(k)) の π n

値を、その個々の要素 u ^(ί) ( 1 ≤ i ≤ k ) が、 b進数（bは、より n

(c) 数 nの b進数展開 ( η ， η , η,) を計算し、数 ηベクトル m m~ 1 J ( n, n n ) として保持する手段と、

1 m-J m

(d) 前記数 nべクトルの要素を順番に走査し、 n .≠ b— 1 となる最小の要素番号 j を検出する手段と、

(e) 上記検出された要素番号 j に基づき、準乱数の第〖番目

( 1 ≤ i ≤ k ) の座標のための生成行列 T ^{( 1})の第 j列ベクトルと、 u の値をあらわすベクトルとを法 bで加算し、その結果を n + 1番 n

目の準乱数の i番目の座標値 u として保持する手段と、

(Γ) 前記手段（b)乃至手段（e)を制御して、 s + 1 番目の準乱数

( u ⁽¹⁾ u ^(k) ) から当該プロセッサにおける処理終了番号 s+1 s+】

tに対応する準乱数 < u, ⁽¹) u_t ^(k)) までを記憶手段に記憶させる制御手段と、

を有する準乱数生成システム。

27. 前記手段（a) が、

(i)

前記！ ¾nベクトル V と生成行列 T ' ( 1 ≤ i ≤ k ) と行列 G

n

とを用いて、 n番目の準乱数の i 番目の座標 tf u ^{( 1})を生成する生成手段を含む ^求^ 26記載の準乱数生成システム。

28. システム制御手段と祓数のプロセッサとを有するコンピュータシステムにおいて、 (a) 前記複数のプロセッサの各々に、 k個の要素に関連する関数 f ( χ_Γ χ₂ x_k) 及び処理開始番号 sを含む処理割当情報を前記システム制御手段から送信するステップと、

(b) 各前記プロセッサにおいて、前記処理割当情報を受信し、前記処理開始番号 sに対応する準乱数 <u ⁽¹⁾ u ^(k)) を生成し、記 1S部

s s

に記億するステップと、

(c) 各前記プロセッサにおいて、 n番目（nは、 1以上の整数）の準乱数（υ_η(^υ,..·, u_n ^(k)) の値を、その個々の要素 u ^; ( 1 < i <k) n n n

が、 b進数（bは、 kより大きいか又は等しい素数）展開された m個の成分をもつベクトルであるように保持するステップと、

(d) 各前記プロセッサにおいて、数 nの b進数展開（η , η

m in— l n, ) を計算し、数 nベクトル（n, n „ n ) として保持するス

1 1 IB— 1 B)

テツプと、

(e) 各前記プロセッサにおいて、前記数 nベクトルの要素を順番に走査し、 n .≠b— 1 となる最小の要素番号 j を検出するステップと、

(f) 各前記プロセッサにおいて、上記求められた要素番号 jに基づき、準乱数の第 i番目（ 1≤ i ≤k) の座標の生成行列 T の第 j列べクトルと、 u ^u)の値をあらわすベクトルとを法 bで加算し、その結果を n + 1番目の準乱数の i番目の座標値 u として保持するステップと、

(g) 座標値 u を、 1≤ i ≤ kに亘つて計算するように、 iの値を増分しながら上記ステップ（Πの計算を反復するステップと、

(h) 各前記プロセッサにおいて、前記ステップ（c)乃至（g)を繰り返し、 s + 1番目の準乱数（u u_s+] ^(k)) から当該プロセッサにおける処理終了番号 tに対応する準乱数（ u_t ^U) u_t ^(k)) までを前記記憶部に記憶するステップと、 (i) 各前記プロセッサにおいて、前記記傥部に格納された ^乱数

(1) (k)

( u u ) ( s n . ) を取り出し、

f (u ⁽¹⁾ u ^(k)) の値を計算するステップと

n n

(j) 各前記プロセッサにおいて、生成された関数値 f ( u (1)

n

u ^(k)) { s≤ n≤ t ) をアキュムレータにより累横するステップと、 π

(k) 各前記プロセッサにおいて、前記アキュムレータにより累橫された値を、前記システム制御手段に送信するステップと、

(1) 前記システム制御手段において、前記各プロセッサから送信された値を累穰し、すべての前記プロセッサの準乱数生成個数で累橫値を除算するステップと

を含む関数 f の多重積分計箅方法。

29. 前記ステップ（が、

前記数 nベクトル V と生成行列 T ("i)' ( 1 ≤ i ≤ k ) と行列 G

n

(i)

とを用いて、 η番目の準乱数の i番目の座標 u を生成するステツプを含む誧求项 28記載の (¾!数 f の多 Ulii'i分計^方法 _c